Teorema de Taniyama-Shimura

El teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente conocido como conjetura de Taniyama-Shimura fue una conjetura, y actualmente un teorema, muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil.[1] En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce también como teorema de la modularidad.

Enunciado

Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo

y^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D

tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que A, B, C y D son números racionales.

Una forma modular es una función analítica f:H -> C del semiplano superior H = {x+ iy: y>0} a los complejos C, tal que f satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas f(x) = f(x+N) para todo x y algún entero N fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).

El teorema afirma lo siguiente:

Para toda curva elíptica E con coeficientes racionales existe una forma modular f (de peso 2) tal que la serie L asociada a E y la serie L asociada a f coinciden. Esto equivale a que los coeficientes a_p asociados a la curva E (que se obtienen a partir del número de puntos de la curva módulo p, para p primo de buena reducción de E) coinciden con los coeficientes del desarrollo de Fourier en el infinito de f.


Historia

Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995.[2] Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.[3] Hay duda sobre el aporte de Andrew Wiles; Serge Lang reivindicó a Shimura la paternidad junto con Taniyama. Éste se suicidó a los 31 años en 1958, murió igual que Abel.

Citas

  1. Singh, 2007, p. 193
  2. Wiles, Andrew Modular elliptic curves and Fermat's last theorem. Ann. of Math. (2) 141 (1995), no. 3, 443--551
  3. Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor: On the modularity of elliptic curves over Q: Wild 3-adic exercises, Journal of the American Mathematical Society 14 (2001), pp. 843–939. Contains the proof of the modularity theorem

Referencias

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