Conjunción lógica

Conjunción  \and

Diagrama de Venn de \scriptstyle A \and B

Diagrama de Venn de \scriptstyle A \and B \and C
Nomenclatura
Lenguaje formal A y B
Operador booleano ·
Operador de conjuntos \cap
Puerta Lógica

\scriptstyle A \and B
Tabla de la Verdad

   \begin{array}{|c|c||c|}
      \hline
      a & b & a \and b \\
      \hline
      F & F & F \\
      V & F & F \\
      F & V & F \\
      V & V & V \\
      \hline
   \end{array}

En razonamiento formal, una conjunción lógica (  \and ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección ( \cap ). En álgebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ).

En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica.

Definición

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y verdadero: V:


   U = \{F, V\}

y una operación binaria interna conjunción  \land , que representaremos  (U, \land ) :


   \begin{array}{rccl}
      \land : & \; U \times U & \to & U             \\
              & (a,b)         & \to & c = a \land b
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.


   \forall (a,b) \in U \times U
   \, : \quad
   \exists !  c \in U
   \; / \quad
   c = a \land b

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Usos

Lenguaje formal

Si declaraciones en un lenguaje formal representan proposiciones en lógica proposicional con contenido de verdad o falsedad, entonces una conjunción lógica es cierta solo si ambas declaraciones son ciertas.

Álgebra Booleana

Dado un conjunto B = {0, 1}, se define · como una función tal que:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

Propiedades

La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades:


   \forall a, b,c \in U
   : \;
   (a \land b) \land c = a \land (b \land c)

   \forall a \in U
   : \;
   a \land V = a

   \forall a, b \in U
   : \;
   a \land b = b \land a

   \forall a, b, c \in U
   : \;
   a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)

   \forall a \in U
   ; \;
   \exists \lnot{a} \in U
   : \;
   a \land \lnot{a} = F

   \forall a, b \in U

   : \; a \land b  \rightarrow
   a \lor b

Operación con bits

La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo:


   0 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}

   0 \and 1 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}

   1 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}

   1 \and 1 = 1
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 1  \\
   \end{array}

   1010 \and 1100 = 1000
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{ccccc}
           & 1 & 0 & 1 & 0  \\
      \and & 1 & 1 & 0 & 0  \\
      \hline
           & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   \end{array}

Véase también

Enlaces externos

Bibliografía

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