Cuadrado

Tablilla de barro Ybc7289 datada el 1800 a. C. donde se muestra un cuadrado y sus diagonales

Un cuadrado en geometría plana es un cuadrilátero regular; esto es una figura del plano con sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos que son de 90º. Sus dos únicas diagonales son de igual longitud y perpendiculares entre sí. Tiene 4 ejes de simetría, cuya intersección es el centro de la figura; dos ejes que pasan por cada par de lados opuestos; otros dos que pasan por vértices opuestos de la figura.[1][2][3] En algunas fuentes consideran el cuadrado como un rectángulo de cuatro lados iguales o un rombo de con un ángulo recto. O un cuadrado es un cuadrilátero de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales. [4] [5]

Propiedades

Es el polígono que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un caso especial de rectángulo, es un rectángulo equilátero. De modo similar, al tener los cuatro lados iguales, es un caso especial de rombo, es un rombo equiángulo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide 90 grados ó \pi/2 radianes, y la suma de todos ellos es 360° ó 2\pi radianes. Cada ángulo exterior del cuadrado mide 90° ó \pi/2 radianes.

Entre los rectángulos que tienen el mismo perímetro, el cuadrado es el que tiene mayor área.[6]

Medidas

Perímetro

Cuadrado con círculos inscrito y circunscrito.

Si un cuadrado C tiene lados que miden L, entonces, el perímetro es igual a 4L, pues los cuatro lados son iguales.

Expresión de la diagonal

La longitud de la diagonal se puede calcular mediante el Teorema de Pitágoras:

d = L\sqrt{2} y recíprocamente
L = d\frac{\sqrt{2}}{2}

Área

El área de un cuadrado es el producto de la longitud del lado por sí misma:

A = L^2 \,

Siendo A el área y L el lado.

El área de un cuadrado es la mitad de la segunda potencia de la longitud de la diagonal D:
A =\frac{D^2}{2}  \,

Diversas medidas numéricas

El concepto de área está ligado al concepto de número real positivo, de modo que la aparición de los números irracionales se debe para tratar aspectos ligados a la geometría, tal el caso de la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario o la longitud del lado de un cuadrado de área 3, y tantos otros. Pues no surge ni del álgebra ni de la aritmética. [8]. Esto obliga el despliegue sistemático del área del cuadrado en diversos contextos, según la naturaleza de los números que se usan para medir el lado.

  1. Axiomáticamente se define que el área de un cuadrado de longitud 1 unidad lineal = u, su área es una unidad cuadrada o  A_C = 1u^2 .
  2. Luego se considera un cuadrado cuyo lado mida n unidades lineales, donde n es un número entero positivo mayor que 1. Se deduce que el área  A_C = n^2 .
  3. En seguida se considera que el lado mide  \frac{p}{q} unidades lineales, siendo esta medida un número raciona positivo ≠ 1; se deduce que  A_C = \frac{m^2}{n^2} .
  4. Finalmente, se considera la longitud del lado s, donde s es un número irracional positivo. Se Aproxima por n. racionales s'< s, obteniendo áreas crecientes menores a s2. De modo decreciente, con valores racionales s < s´´ se aproxima mediante áreas decrecientes pero mayores a s2. Se concluye que  A_C = s^2 . [9]

Comparación con otras figuras

Trazado con regla y compás

Trazado con regla y compás, de un cuadrado inscrito en una circunferencia de diámetro concordante con las diagonales del mismo.

Para trazar un cuadrado de diagonales d centrado en el punto O:

  1. Marca el punto O donde quieras el centro del cuadrado.
  2. Traza una línea horizontal que pase por dicho punto O.
  3. Haciendo centro en el punto O traza una circunferencia de un diámetro d cualquiera, esto genera dos puntos de intersección con la recta horizontal del paso 2.
  4. Sin variar la apertura del compás y haciendo ahora centro en alguna de las dos intersecciones del paso 3, traza un arco hasta cortar en dos puntos la circunferencia inicial.
  5. Uniendo los dos puntos hallados en el paso 4 con una línea recta (vertical), dicha recta generará un nuevo punto de intersección sobre la recta horizontal inicial.
  6. Haz centro con el compás en el punto hallado en el paso 5 y abre el mismo hasta el punto central O y traza una semicircunferencia que intercepte en dos puntos a la línea vertical del paso 5.
  7. Traza una línea recta que pase por uno de los puntos del paso 6 y por el punto central O, extendiéndola hacia ambos lados hasta intersecar a la circunferencia inicial de paso 3, esto genera sobre la misma dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de una de las diagonales.
  8. Repitiendo el paso anterior pero ahora con el otro punto del paso 6 y el punto central O, obtendrás los dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de la segunda diagonal.
  9. Luego uniendo de modo cíclico con líneas rectas los cuatro puntos vértice hallados en los dos pasos anteriores, habrás obtenido finalmente el cuadrado.

El cuadrado y el álgebra

Consideremos un cuadrado centrado en el origen de coordenadas, con lados paralelos a los ejes coordenados, de lado 2. Sus vértices señalados con 1, 2 3 y 5 desde el primer cuadrante en sentido antihorario. Interesa los movimientos que conduzcan el cuadrado sobre sí mismo. Hay cuatro rotaciones:

rω para los ángulos ω=π/2, ω=π, ω =3π/2, ω=2π. Observar que el rotar 2π equivale a rotar 0 grados.

Además hay 4 reflexiones con respecto a los ejes coordenados X, Y con respecto a las rectas que contienen a sendas diagonales. que denotaremos αX αy α1 α2, que corresponden a las reflexiones , respectivamente, respecto al eje X, al Y, al eje bisector del primer cuadrante y al eje bisector del segundo cuadrante. Tanto una rotación como una reflexión se llamará acción, y la composición de una acción con otra da una única tercera acción , obviamente, una de las ocho anteriores. Por ejemplo.

rπ/2 * rπ/2 = rπ = (rπ/2)2, Así sucesivamente. El conjunto de las ocho acciones sobre el cuadrado y la composición de acciones forma un grupo finito de orden 8, cuyo elemento identidad es la rotación 0 o de 2π. Tema de interés aplicativo en cristalografía. [11]

Referencias

  1. Real Academia Española (2014), «Cuadrado», Diccionario de la lengua española (23.ª edición), Madrid: Espasa, http://dle.rae.es/?w=cuadrado&o=h.
  2. Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. «Polígono regular de cuatro lados».
  3. Equipo editorial. Enciclopedia didáctica de matemáticas. OCEANO. ISBN 84-494-0696-X. «Paralelogramo de cuatro ángulos rectos y cuatro lados iguales».
  4. Definición de Birkhoff
  5. A. Bouvier y M. George. Diccionario de Matemáticas. AKAL. ISBN 84-7339-706-1. «rectángulo de cuatro lados iguales o un rombo de ángulos iguales y lados consecutivos perpendiculares».
  6. Cualquier manual de Cálculo, en el capítulo de extremos; para el caso Calculus de Spivak o el manual de Nathanson
  7. Repetto/Linkens/ Fesquet. Matemática Moderna. Geometría 2.
  8. Bell. Historia de las matemática
  9. Elon Lages Lima. Medida y forma en Geometría ISBN 9972-753-70-0
  10. Rojas Puémape. Matemática 4. Editorial San Marcos, Lima
  11. Zaldívar. Introducción a la teoría de grupos. ISBN 978-968-6708-66-0

Véase también

Enlaces externos

This article is issued from Wikipedia - version of the Friday, January 29, 2016. The text is available under the Creative Commons Attribution/Share Alike but additional terms may apply for the media files.