Distancia relativa entre dos campos escalares

Inspirado en el error relativo entre dos cantidades, el operador \Delta_D, relaciona dos campos escalares no negativos, que han de ser integrables en el sentido de Riemann[1] en un conjunto  D que se supone abierto conexo. El operador \Delta_D permite evaluar el comportamiento de una aproximación analítica frente a una solución numérica que sean soluciones de una ecuación diferencial ordinaria. La principal ventaja de utilizar \Delta_D en lugar de otras distancias dadas en la literatura es que el valor dado por \Delta_D tiene una interpretación sencilla: un valor cercano a 0 significa relativamente cerca, pero un valor cercano a 1 significa muy lejano.[2]

Definición: Sea S(D) el conjunto de los campos escalares no negativos, integrables en  \mbox{D} \subseteq \mbox{R}^{n}, siendo D un conjunto abierto conexo. Si  f,g \in S(D) se define

\Delta_D (f, g) = 
   \begin{cases} 
       \frac{\int_D\vert f\vec(x)-g\vec(x)\vert dV}{\int_D\vert f\vec(x)+g\vec(x)\vert dV} & \mbox{si f o g} \ne 0    \\
       0 \mbox{ si  f=g=0}
   \end{cases}
siendo \vec x = (x_1,x_2,...,x_n) \text{ y } dV=dx_1\cdot dx_2 \cdot ... \cdot dx_n (1).

De la definición se deduce que

 \forall f \in S(D), f \ne 0 \longrightarrow \Delta_D (f,0) = 1 y

 \forall f \in S(D), f \ne 0 \longrightarrow \Delta_D (f,f) = 0

A partir de la definición se pueden demostrar los siguientes teoremas

Teorema 1

 \forall f,g \in S(D) se cumple que  0 \leqslant \Delta_D (f,g) \leqslant 1

Teorema 2

S(D) con la distancia \Delta_D (f, g) definida anteriormente en (1), es un espacio métrico Espacio métrico, es decir cumple las siguientes propiedades

  1. \Delta_D (f, g) \geq 0, \forall f,g \in S(D)
  2. \Delta_D (f, g) = 0, \forall f,g \in S(D) \longleftrightarrow f = g \text{ en } D
  3. \Delta_D (f, g) = \Delta_D (g, f), \forall f,g \in S(D)
  4. \Delta_D (f, g) \leqslant \Delta_D (f, h) + \Delta_D (g, h), \forall f,g,h \in S(D)

Aplicación a la aproximación para una EDO

Consideremos una ecuación diferencial ordinaria dependiente de un parámetro  \epsilon , 
F\left (
       \epsilon, x_1,x_2,,...,x_n,y,
            \frac{\partial y}{\partial x_1},
            \frac{\partial y}{\partial x_2},....,
            \frac{\partial y}{\partial x_n},
            \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_1}, ....
           \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_n}, ... 
   \right ) = 0
(1)

sujeta a las siguientes condiciones de contorno y(\vec x_s) = y_s, \vec x_s \in \mbox{D} Para cada valor de  \epsilon podemos calcular una solución numérica, que dependerá de \vec x y de  \epsilon y que vamos a llamar y_{num}=y_{num} (\vec x, \epsilon) .

Si la ecuación diferencial es regular, podemos obtener y_{num} con cualquier precisión deseada. Por otra parte consideremos el desarrollo en serie de Taylor, de F, sobre el parámetro  \epsilon en torno al punto  \epsilon_0 :  F_n = \sum_{i=0}^n   
              \frac{\partial y^k}{\partial x^k} |_{\epsilon = \epsilon_0}    
               \frac{(\epsilon - \epsilon_0)^k}{k!}

Sustituyendo F \text{ por } F_n en (1), se obtiene una ecuación diferencial ordinaria 
F_n\left (
       \epsilon, x_1,x_2,,...,x_n,y,
            \frac{\partial y}{\partial x_1},
            \frac{\partial y}{\partial x_2},....,
            \frac{\partial y}{\partial x_n},
            \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_1}, ....
           \frac{\partial^2 y}{\partial x_1 \partial x_n}, ... 
   \right ) = 0
(2)

que debe ser similar a la original (1) para el parámetro  \epsilon cercano a  \epsilon_0 Considerando las mismas condiciones de contorno, a veces, para ciertos órdenes de aproximación n en el desarrollo de Taylor, podemos resolver (2) exactamente y_{n}=y_{n} (\vec x, \epsilon)

La pregunta que surge es qué tan buena es el aproximación analítica y_n con respecto a la y_{num} solución numérica, en  D , para un valor dado de  \epsilon . Para este propósito, se puede utilizar la distancia definida en (1) de la siguiente manera

 \Delta_n(\epsilon) = \Delta_D (y_{num},y_n)

en donde hemos supuesto que y_{num} \text{ y } y_n son campos escalares no negativos, con el fin de poder aplicar (1). Nótese también que ahora podemos dibujar  \Delta_n( \epsilon ) para valores de  \epsilon cercanos a  \epsilon_0 y evaluar la bondad de la aproximación analítica n-ésima y_n con respecto a la solución y_{num}

Referencias

  1. Apostol TM. Calculus, Vol. 1. John Wiley & Sons: New York, 1967
  2. González-Santander, J.L. and Martín, G. Relative distance between two scalar fields. Application to mathematical modelling approximation. Mathematical Methods in the Applied Sciences (2013).
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