Espacio tangente

fig.1 El plano que toca a la esfera en un solo punto es llamado plano tangente. Cada punto de la esfera tiene asociado un plano tangente. Para la esfera los puntos antipodales tiene planos tangente paralelos.

En geometría diferencial, espacio tangente es el conjunto asociado a cada punto de una variedad diferenciable formado por todos los vectores tangentes a dicho punto (véase fig.1). Es un espacio vectorial de la misma dimensión que la dimensión de la variedad.

El conjunto de todos los espacios tangentes, debidamente topologizado, forma el llamado fibrado tangente. Resulta ser en sí mismo otra variedad de dimensión doble de la dimensión de la variedad de entrada.

fig.2 Las cartas que cumplan esta condición formarán parte de dicha estructura. Ilustración del espacio tangente \scriptstyle T_xM y un vector tangente \scriptstyle v\in T_xM obtenido utilizando una curva que pasa por un punto \scriptstyle x\in M.

Definiciones

Hay varias formas de entender este concepto. Primero vamos a explicar utilizando la gráfica de la fig.2. Empecemos suponiendo que tenemos una curva \scriptstyle \gamma en la variedad M que pasa por alguna posición elegida cualquiera: \scriptstyle x\in M. Es decir una aplicación \scriptstyle \gamma\ :\ [-\varepsilon,\varepsilon]\to M diferenciable que satisface \scriptstyle \gamma(0)=x y \scriptstyle \gamma'(0)=v. Resulta que el conjunto de todos estos vectores tangentes a la curva en el punto x forman el espacio tangente \scriptstyle T_xM de x en M.

Espacio tangente \R^n

Si se tiene una variedad diferencial inmersa en \scriptstyle \R^n dada por la ecuación \scriptstyle \mathbf{f}(x_1,x_2,\dots,x_n)=0 entonces el espacio tangente en un punto de dicha variedad \scriptstyle \mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots,a_n)\in \mathcal{M} viene dado por la ecuación:

\begin{matrix}
D\mathbf{f}(\mathbf{a})(\mathbf{x-a}) = 0 \Rightarrow \\ \\
\begin{bmatrix} \part_{x_1}f_1(\mathbf{a}) & \dots & \part_{x_n}f_1(\mathbf{a}) \\
\dots & \dots & \dots \\
\part_{x_1}f_n(\mathbf{a}) & \dots & \part_{x_n}f_n(\mathbf{a}) \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1-a_1 \\ \dots \\ x_n-a_n \end{bmatrix} = \mathbf{0}
\end{matrix}

Donde D\mathbf{f}(\mathbf{a}) es la matriz jacobiana o diferencial de la función.

Véase también

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