Funtor exacto

En álgebra homológica, un funtor exacto es un funtor de una categoría abeliana a otra que preserva sucesiones exactas.

Definición formal

Sea A y C categorías abelianas y sea :F: AC un funtor, sea :0ABC0 una sucesión exacta corta de objetos de A entonces F es exacto si 0F(C)F(B)F(A)0 es de nuevo una sucesión exacta.

Otras definiciones relativas a el funtor F son:

Ejemplos

Si A y B son dos categorías abelianas, podemos considerar la categoría de funtores BA cuyos objetos son funtores de A en B y los morfismos entre dos objetos son transformaciones naturales entonces tenemos un funtor EA de BA a B evaluando funtores en A. Este funtor 'EA es exacto.

Algunos hechos

Un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto izquierdo si y solo si lleva límites finitos en límites. Análogamente un funtor (no necesariamente aditivo) es exacto derecho si y solo si lleva colimites finitos en colimites.

El grado con el cual un funtor exacto izquierdo falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados derechos y el grado con el cual un funtor exacto derecho falla de ser exacto puede ser medido con sus funtores derivados izquierdos.

Existe un teorema que nos asegura que si F y G son funtores y F es adjunto izquierdo de G entonces F es exacto derecho y G es exacto izquierdo.


Referencias

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