Homomorfismo de grupos

Imagen de un homomorfismo de grupos (h) de G(izquierda) en H(derecha). El óvalo menor dentro de H es la imagen de h. N es el núcleo de h y aN es una clase lateral de N.

En álgebra, un homomorfismo de grupos es una función entre grupos que preserva la operación binaria.

Dados dos grupos (G,\circ) y (H,\ast) la aplicación \quad \varphi : G \longrightarrow H \quad es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a, b \in G

\varphi(a \circ b) =  \varphi(a) \ast \varphi(b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (\circ) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (\ast) es la ley de composición interna en H.[1]

Si la aplicación \varphi es biyectiva entonces es un isomorfismo de grupos, lo que significa que ambos grupos tienen la misma estructura algebraica (son isomorfos), y sólo se diferencian por los símbolos utilizados para denotar los elementos y la operación.

Definiciones

Dados dos grupos (G,\circ) y (H,\ast), en el que cada grupo está compuesto por un conjunto de elementos y una ley de composición interna entre ellos (no necesariamente la misma), es posible definir una función que asigne a cada elemento g de G un elemento h de H:

\quad \varphi : G \longrightarrow H \quad

Dicha función es un homomorfismo de grupos si se verifica que para todos los pares de elementos a, b \in G

\varphi(a \circ b) =  \varphi(a) \ast \varphi(b)

donde la operación en el lado izquierdo de la ecuación (\circ) es la ley de composición interna en G, y la operación del lado derecho de la ecuación (\ast) es la ley de composición interna en H.[1]

Imagen de \varphi

El conjunto de todos los elementos de H que son la imagen de algún elemento de G se llama la imagen de la aplicación, y se denota \rm{Im}(\varphi) o \varphi(G).[2] Formalmente:

\rm{Im}(\varphi) : \lbrace h \in H : h = \varphi(g), \ para \ alg\acute{u}n \ g \in G\rbrace

La imagen de \varphi es un subgrupo de H.

El núcleo o kernel

El conjunto de todos los elementos de G cuya imagen es el elemento identidad de H se llama núcleo (kernel) de \varphi:

\ker(\varphi) : \lbrace g \in G : \varphi(g) = 1_H \rbrace

El núcleo de \varphi es un subgrupo normal de G. El núcleo es importante porque no sólo determina qué elementos tienen por imagen la identidad, sino también qué elementos tienen la misma imagen:[3]

Dado a \in G \rightarrow \varphi(a \circ k) = \varphi(a) \qquad \forall k \in \ker(\varphi)
ya que \varphi(a \circ k) = \varphi(a) \ast \varphi(k) = \varphi(a) \ast 1_H =  \varphi(a)

Los conjuntos de todos los elementos que comparten una misma imagen son las clases laterales del núcleo.

Ejemplos

La función exponencial en un homomorfismo de grupos entre los números reales bajo la adición y el grupo multiplicativo de los reales no nulos (excluido el 0):

f : (\mathbb{R}, +) \longrightarrow (\mathbb{R}^{\ast}, \cdot) \quad tal \ que \ f(x)  = e^x

dado que \quad f (x+ y) = e^{x+y} = e^x \ e^y = f(x) \cdot  f(y)

La imagen de la función exponencial es el subgrupo de los números reales positivos, y el núcleo es solo el elemento identidad (el 0), ya que la aplicación es inyectiva.

La función determinante, definida sobre el grupo multiplicativo de matrices invertibles (grupo general lineal) en los números reales no nulos, es un homomorfismo de grupos:

f : \mathbb{GL}_n(\mathbb{R}) \longrightarrow (\mathbb{R}^{\ast}, \cdot) \quad tal \ que \ f(A)  = det(A)

dado que \quad \det(A \times B) = \det(A) \cdot \det(B).

Tipos de homomorfismos

\forall g_1,g_2 \in G : \varphi(g_1) = \varphi(g_2) \iff g_1 = g_2
El núcleo de un monomorfismo sólo contiene al elemento identidad, y a la inversa, cuando el núcleo sólo contiene al elemento identidad entonces la función es un monomorfismo.
\forall h \in H : h = \varphi(g) , \ para \ alg\acute{u}n \ g \in G
\quad \varphi : G \longrightarrow G \quad

Propiedades

Dado un homomorfismo de grupos \quad \varphi : G \longrightarrow H \quad , se verifican las siguientes propiedades:

En efecto, \varphi(1_G) = \varphi(1_G \circ 1_G) = \varphi(1_G) \ast \varphi(1_G)

por otro lado  1_H = \varphi(1_G) \ast \varphi(1_G)^{-1} = \varphi(1_G).

Por el resultado anterior 1_G \in \ker(\varphi)

así que el núcleo contiene como mínimo al elemento identidad.

En efecto, 1_H = \varphi(1_G) = \varphi(a \circ a^{-1}) = \varphi(a) \ast \varphi(a^{-1})

y dado que los elemento inversos son únicos, \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1}.

En efecto, H' es cerrado bajo la operación del grupo:

\forall \varphi(g_1), \varphi(g_2) \in H', \ donde \ g_1,g_2 \in G'
\varphi(g_1) \ast \varphi(g_2) = \varphi(g_1 \circ g_2) \in H'

Contiene la identidad: 1_G \in G' \Rightarrow 1_H = \varphi(1_G) \in H'
Contiene los inversos: \forall \varphi(g)  \in H', \ donde \ g \in G; \varphi(g)^{-1} = \varphi(g^{-1}) \in H'

En efecto, G' es cerrado bajo la operación del grupo:

\forall g_1, g_2 \in G' \ donde \ \varphi(g_1), \varphi(g_2) \in H'
\varphi(g_1 \circ g_2) = ( \varphi(g_1) \ast \varphi(g_2)) \in H' \Rightarrow g_1 \circ g_2 \in H'

Contiene la identidad: 1_H = \varphi(1_G) \Rightarrow 1_G \in G'
Contiene los inversos: \forall g \in G'; \ \varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1} \in H' \Rightarrow g^{-1} \in G'

Para demostrar que G' es normal se debe cumplir que

\forall g \in G \Rightarrow (g^{-1} \circ G' \circ g) \in G'

pero \forall g' \in G' \Rightarrow \varphi(g^{-1} \circ g' \circ g) = (\varphi(g)^{-1} \ast \varphi(g') \ast \varphi(g)) \in H'
dado que H' es normal en H.

El núcleo de \varphi es cerrado

para todo a, b \in \ker(\varphi) \Rightarrow \varphi(a \circ b) = \varphi(a) \ast \varphi(b) = 1_H \ast 1_H = 1_H

Contiene al elemento identidad: \varphi(1_G) = 1_H, como ya se demostró antes.
Contiene los inversos: para todo a \in \ker(\varphi) \Rightarrow \varphi(a^{-1}) = \varphi(a)^{-1} = (1_H)^{-1} = 1_H
Es normal en G porque es la preimagen de 1_H (el subgrupo trivial de H), que es normal en H.

La imagen de \varphi es cerrada:

\forall a, b \in G \Rightarrow \varphi(a) \ast \varphi(b) = \varphi(a \circ b)  \in \rm{im}(\varphi).

Contiene al elemento identidad: \varphi(1_G) = 1_H\Rightarrow 1_H \in \rm{im}(\varphi)
Contiene los inversos: \forall a \in G \Rightarrow \varphi(a)^{-1} = \varphi(a^{-1}) \in \rm{im}(\varphi)

Teoremas fundamental y de isomorfía

El teorema fundamental expresado como un diagrama conmutativo.

Teorema fundamental

Sean f:G\longrightarrow H un homomorfismo de grupos y N un subgrupo normal de G contenido en el núcleo de f, entonces existe un único homomorfismo \bar f tal que \bar f\circ\varphi=f, en donde \varphi:G\longrightarrow G/N es la proyección canónica y G/N es un grupo cociente.[5]

Teoremas de isomorfismo

Sea f:G\longrightarrow H un homomorfismo de grupos. Entonces existe un isomorfismo \bar f:G/(\ker f)\longrightarrow\mathrm{im}\ f, y por tanto G/(\ker f)\cong\mathrm{im}\ f.

Si N y H son subgrupos de un grupo G, con N normal en G, entonces NH es un subgrupo de G, H \cap N es normal en G y H/(H \cap N)\cong (HN)/N.

Si N y H son subgrupos normales de un grupo G, con N\subseteq H, entonces G/H\cong (G/N)/(H/N).

Véase también

Referencias

Notas

  1. 1 2 (Judson, 2012, p. 169)
  2. (Artin, 2011, p. 48)
  3. (Artin, 2011, p. 49)
  4. Judson, 2012, p. 170.
  5. «Fundamental homomorphism theorem». planetmath.org. Consultado el 1 de septiembre de 2013.

Bibliografía

Enlaces externos

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