Imagen inversa

La imagen inversa de una aplicación es la aplicación que a cada subconjunto del conjunto final de la aplicación le hace corresponder el conjunto de elementos del conjunto inicial cuya imagen se encuentra en este conjunto.[1] Es una aplicación que a un conjunto le hace corresponder otro conjunto.

Definición

Sea  \textstyle f: \mbox{A}  \longrightarrow \mbox{B} una aplicación e  \textstyle \mbox{Y} \subset \mbox{B} . La imagen inversa de  \textstyle Y se define mediante la ecuación:

 f^{-1}(Y)\quad =  \quad \lbrace \quad x \in A \quad | \quad \exists y \in Y \quad, \quad f(x)=y \quad \rbrace

Propiedades

La imagen inversa resulta ser compatible con todas las operaciones con conjuntos:

Unión

 \forall Y,Z \subset \mbox{B} \quad f^{-1}( \mbox{Y} \cup \mbox{Z} ) = f^{-1}(\mbox{Y}) \cup f^{-1}(\mbox{Z})

Intersección

 \forall Y,Z \subset \mbox{B} \quad f^{-1}( \mbox{Y} \cap\mbox{Z} ) = f^{-1}(\mbox{Y}) \cap f^{-1}(\mbox{Z})

Complementario[2]

 \forall Y \subset \mbox{B} \quad f^{-1} ( \mbox{B} - \mbox{Y} ) = \mbox{A} - f^{-1}( \mbox{Y} )

Diferencia de conjuntos

 \forall \mbox{Y} , \mbox{Z} \subset \mbox{B} \quad  f^{-1}(\mbox{Y} -  \mbox{Z} ) = f^{-1} ( \mbox{Y} ) - f^{-1}( \mbox{Z} )

Aplicaciones

La imagen inversa se usa frecuentemente en topología y teoría de la medida.

Referencias

  1. Introducción a la teoría de conjuntos y a la topología. Kazimierz Kuratovwsi. Vicens Universidad.
  2. Dugundji, James. Topology.
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