Intervalo (matemática)

Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa)[1]) es un subconjunto  I ℝ. A tal subconjunto se le exige que para cualquier  u,w \in I y todo  v \in R con  u< v < w se denote que  v \in I . [2]
Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.[3]

Proposición

Un intervalo J es una parte de \R que verifica la siguiente propiedad:

Si r y t son elementos de J con r \le t, entonces para todo s tal que r \le s \le t, se cumple que s \in J

.

Notación

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

I = (a,b) \Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a < x < b

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o \R) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de \R, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a, b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].[4] No tiene puntos aislados, mientras que todos su puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.[5]

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

En notación conjuntista:

I = [a,b] \Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a \le x \le b

Si incluye únicamente uno de los extremos.

En notación conjuntista:

I = (a,b]\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a < x \le b

En notación conjuntista:

I = [a,b)\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a \le x < b

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.[6] Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor abosoluto, la función signo, etc.[7]

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.[8]

Intervalo infinito

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

En notación conjuntista:

I = [a,\infty)\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a \le x

Sin incluir el extremo:

I = (a,\infty)\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a < x

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

En notación conjuntista:

I = (-\infty, a]\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad x \le a

Sin incluir el extremo:

En notación conjuntista:

I = (-\infty,a)\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad x < a

Para todo valor real:

En notación conjuntista:

I = (-\infty,\infty)\Leftrightarrow \forall x \in R

Operaciones con intervalos

En notación conjuntista: supongamos el conjunto A:

A =\{ x, \; x \in R : \quad x < 4 \}

Esto se lee: A es el conjunto de todos los números reales x tal que x es menor que cuatro.

Y el conjunto B:


   B =
   \{ x , \; x \in R : \quad 9 < x \}

B es el conjunto de todos los números reales x, tal que 9 es menor que cualquier x .

El conjunto unión de A y B sería:


   A \cup B =
   \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \lor \; 9 < x \}

O también se puede anotar:


   x \in
   (-\infty, 4) \cup (9, \infty)

Un elemento está en la unión de dos o más conjuntos s.s.s. está por lo menos en uno de ellos.

El conjunto intersección de A y B no existe [9]:


   A \cap B =
   \{ x , \; x \in R : \quad x < 4 \; \land \; 9 < x \}

porque A y B no tienen puntos en común.


   A \cap B =
   \varnothing

Definido el conjunto C:


   C =
   \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 15 \}

Es decir, que el conjunto C toma valores entre -3 y 15, siempre siendo x un número real.

El conjunto intersección de A y C es:


   A \cap C =
   \{x , \; x \in R : \quad -3 < x < 4 \}

El conjunto intersección es aquel que toma los valores en común entre todos los conjuntos incluidos.

Entorno simétrico

Un entorno simétrico o entorno de centro a y radio r se representa:

I = E(a,r)\Leftrightarrow \forall x \in I: \quad a-r < x < a+r

Entorno reducido

Un entorno reducido de centro a y radio r se representa:


   I = E^{\star}(a,r), \quad
   \forall x \in I: \quad x \in E(a,r) \; - \; \{ a \}

Un entorno reducido de un punto p es un entorno de p, menos {p}. Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y: −1 < y < 1} es un entorno de p = 0 en la recta real, entonces el conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0.

Nota

Ejemplos gráficos

Gráfica de una función en un intervalo.  
Transformación lineal de intervalos.  
Transformación lineal de intervalos.  
Línea numérica.  

Clasificación

Se pueden clasificar los intervalos según sus características topológicas (intervalos abiertos, cerrados, semiabiertos) o según sus características métricas (longitud: nula, finita no nula, infinita).

La siguiente tabla resume los 11 casos posibles, con ab, y x perteneciente al intervalo:

Notación Intervalo Longitud Descripción
[a, b] \,  a \le x \le b b-a \, Intervalo cerrado de longitud finita.
[a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  [a, b) \!  a \le x < b\! b-a \, Intervalo semiabierto (cerrado en a, abierto en b).
]a, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, b] \! a < x \le b b-a \, Intervalo semiabierto (abierto en a, cerrado en b).
]a, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, b) \! a<x<b \! b-a \, Intervalo abierto.
]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (- \infty, b) \!  x < b \! \infty Intervalo semiabierto.
]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (- \infty, b] \!  x \le b \! \infty Intervalo semiabierto.
[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  [a, \infty ) \!  x \ge a \! \infty Intervalo semiabierto.
]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (a, \infty ) \!  x > a \! \infty Intervalo semiabierto.
]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \acute o } \ \  (\infty, + \infty ) \!  x \in \mathbb{R} \! \infty Intervalo a la vez abierto y cerrado.
 \{ a \} \!  x=a \!  0 \! Intervalo cerrado de longitud nula (intervalo degenerado).
\{\} = \emptyset\! sin elemento cero Conjunto vacíoIntervalo abierto (a,a).

[10]

Caracterización

Intervalo cerrado

El número real x está en  I= [a, b] \, si sólo si  a \le x \le b . Los puntos a y b son elementos del intervalo cerrado I; a es el ínfimo y b el supremo. El intervalo cerrado es la clausura del intervalo abierto y los semiabiertos con extremos a y b con  a \le x \le b . El intervalo abierto \ \  (a, b) \! es el interior del intervalo cerrado de extremos a y b; y estos puntos son los únicos que están en la frontera del intervalo cerrado  I= [a, b] \,; este es un conjunto cerrado y compacto con la topología usual de la recta . [11]

Propiedades

Aritmética de intervalos

Sean I = [a, b] y J = [c, d] con axb, y cyd.

Entonces: a + cx + yb + d. Lo que justifica que

Generalización

Un intervalo n-dimensional se define como un subconjunto de \R^n, que es el producto cartesiano de n intervalos: I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n, uno en cada eje de coordenadas......

Entorno de centro a y radio ε.

En términos topológicos, en el espacio métrico \R usual los intervalos son las bolas abiertas y cerradas. De manera más general, se le llama vecindad o entorno de centro a y radio ε, al conjunto de puntos x cuya distancia a a es menor que ε.

E (a ; \epsilon) = \left\{  x \in  \R \ : \ |x - a| < \epsilon \right\}

Véase también

Referencias y notas

  1. Echauri: Diccionario básico Latino-español...
  2. Barbolla García R.M. y otros. Introducción al análisis real Alhambra, Madrid, 1982, segunda edición ISBN 84-205-0771-7
  3. De Guzmán. Rubio: Integración: teoría y técnicas" ISBN 84-205-0631-1
  4. Ayala y otros: Elementos de la Topología general, Salamanca, España, ISBN 84-7829-006-0
  5. Rubiano: Topología general, Bogotá
  6. M. J. Mansfield: "Introducción a la topología" ISBN 84-205-0450-5
  7. Arizmendi. Carrillo. Lara: Cálculo Cecsa, Mexico D.F.
  8. Spivak: Calculus, tomo I
  9. Error gravísimo. La intersección sí existe: el conjunto vacío
  10. Hasser. La Salle. Sullivan: Análisis matemático I, define con a≤b y surgen los casos del singulete y del ∅
  11. Mansfield. Introducción a la Topología ISBN 84-205-0450-5
  12. Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2
  13. Chinn. Steenrod: Primeros conceptos de topología ISBN 84-205-0524-2
  14. Mansfield: Introducción a la Topología ISBN 84-205-4050-5
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