Función inyectiva

En matemáticas, una función f \colon X \to Y es inyectiva si elementos distintos del conjunto X (dominio) les corresponden elementos distintos en el conjunto Y (codominio) de f. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo sumo una preimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.

Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada por f(x)=x^2 no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función inyectiva.

Definición formal

función f:X\to Y es inyectiva si, sólo si a,b son elementos de X tales que f(a)=f(b), entonces a=b.

si a,b son elementos diferentes de X, entonces f(a)\ne f(b)

Simbólicamente,

\forall \, a,b \in X, \ \ f(a)=f(b) \Rightarrow a=b

que es equivalente a su contrarrecíproco

\forall \, a,b \in X, \ \  a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) [1]

Para probar que una función no es inyectiva basta hallar dos valores distintos del dominio, pero sus imágenes en el codominio son iguales.

Cardinalidad e inyectividad

Dados dos conjuntos \scriptstyle A y \scriptstyle B, entre los cuales existe una función inyectiva \scriptstyle f:A \to B tienen cardinales que cumplen:

\mbox{card}(A) \le \mbox{card}(B)

Si además existe otra aplicación inyectiva \scriptstyle g:B \to A, entonces puede probarse que existe una aplicación biyectiva entre A y B.

Ejemplos

En perspectiva geométrica, cuando se establece una función f de X a Y ( subconjuntos de R), esta se reconoce como función inyectiva si su gráfica es cortada por una recta horizontal únicamente en un punto. Este principio se conoce como la prueba de línea horizontal [2].

Inyectividad en el espacio euclideo

Dada una función \scriptstyle \mathbf{f}:\Omega\subset\R^n\to \R^n diferenciable con continuidad sobre un dominio del espacio euclideo n-dimensional, pueden establecerse condiciones necesarias y suficientes para decidir cuando esta función es inyectiva. El teorema de la función inversa da una condición no suficiente para que una función diferenciable sea localmente inyectiva:

\det D\mathbf{f} \ne 0

donde:

D\mathbf{f} es la matriz jacobiana de la función.
\det (\cdot) es la función determinante.

Esta condición no es condición suficiente para garantizar la inyectividad de la función (de hecho tampoco es condición necesaria). Para encontrar condiciones suficientes se define el vector desplazamiento asociado a la función como el siguiente campo vectorial:

\mathbf{u}(\mathbf{x})= \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{x}\in \R^n

Esta función se interpreta como la diferencia entre la posición inicial de un punto y la posición final de su imagen. Puede demostrarse que existe una constante \scriptstyle c(\Omega) si se cumple:

\max_{\mathbf{x}\in \bar{\Omega}} \|D\mathbf{u}(\mathbf{x})\| =
\sup_{\mathbf{x}\in \Omega} \|D\mathbf{u}(\mathbf{x})\| < c(\Omega)\le 1

Donde:

\bar{\Omega}, es la clausura topológica del dominio \Omega.

Entonces la función es [globalmente] inyectiva, puede demostrarse que \scriptstyle c(\Omega) = 1 si el dominio \scriptstyle \Omega es convexo, mientras que un dominio no convexo requiere \scriptstyle c(\Omega) < 1

Referencias y notas

  1. Este artículo carece de fuente bibliográfica
  2. Esta última afirmación requiere referencia de autor y texto

Véase también

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