Límite directo

En matemática, un límite directo (también llamado límite inductivo) es un colímite de una "familia directa de objetos". De manera general, se expondrá primero la definición para estructuras algebraicas como grupos y módulos, y luego la definición general, la cual puede ser usada en cualquier categoría.

Definición formal

Objetos algebraicos

En esta sección los objetos pueden ser entendidos como conjuntos con una estructura algebraica dada como pueden ser grupos, anillos, módulos (sobre algún anillo fijado), álgebras (sobre un cuerpo fijado), etc. Con esto en mente, los homomorfismos son entendidos en el correspondiente marco (homomorfismos de grupos, etc.).

Se comienza con la definición de un sistema directo de objetos y homomorfismos. Sea \langle I,\le\rangle un conjunto direccionado. Sea \{A_i : i\in I\} una familia de objetos indexados por I\, y  f_{ij}: A_i \rightarrow A_j es un homomorfismo para todo i \le j con las siguiente propiedades:

  1. f_{ii}\, es la identidad de A_i\,, y
  2. f_{ik}= f_{jk}\circ f_{ij} para todo i\le j\le k.

Entonces el par \langle A_i,f_{ij}\rangle se llama sistema directo sobre I\,.

El conjunto subyacente del límite directo, A\,, del sistema directo \langle A_i,f_{ij}\rangle se define como la unión disjunta de A_i\,'s módulo una cierta relación de equivalencia \sim\,:

\varinjlim A_i = \bigsqcup_i A_i\bigg/\sim.

Aquí, si x_i\in A_i y x_j\in A_j, x_i\sim\, x_j si hay algún k\in I tal que f_{ik}(x_i) = f_{jk}(x_j)\,. Heurísticamente, dos elementos de un conjunto disjunto son equivalentes si y sólo si "eventualmente se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que destaca la dualidad con el límite inverso es que un elemento es equivalente a todas sus imágenes bajo los morfismos de un sistema direccionado , i.e. x_i\sim\, f_{ik}(x_i).

Se obtiene naturalmente de esto la definición morfismos canónicos \phi_i: A_i\rightarrow A enviando a cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas sobre A\, son definidas a esos morfismos de manera obvia.

Una propiedad importante es que tomando límites directos en la categoría de módulos es un funtor exacto.

Límite directo sobre un sistema directo en una categoría

El límite directo puede ser definido en una categoría arbitraria \mathcal{C} por medio de una propiedad universal. Sea \langle X_i, f_{ij}\rangle un sistema directo de objetos y morfismos en \mathcal{C} (la misma definición que anteriormente). El límite directo de este sistema es un objeto X\, en \mathcal{C} junto con morfismos \phi_i: X_i\rightarrow X que satisfacen \phi_i =\phi_j \circ f_{ij}. El par \langle X, \phi_i\rangle debe ser universal en el sentido que para cualquier otro par de \langle Y, \psi_i\rangle existe un único morfismo  u:X\rightarrow Y que realiza que el diagrama

conmute para todo i, j. El límite directo es a menudo denotado como

X = \varinjlim X_i

con el sistema directo, \langle X_i, f_{ij}\rangle, se entiende.

A diferencia de los objetos algebraicos, el límite directo no puede existir en una categoría algebraica. Sin embargo, si lo hace, es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X′ existe un único isomorfismo X′ → X conmutando con los morfismos canónicos.

Nótese que un sistema directo en una categoría \mathcal{C} admite una descripción alternativa en términos de funtores. cualquier conjunto parcialmente ordenado direccionado \langle I,\le \rangle puede ser considerado como una categoría pequeña \mathcal{I} donde los morfismos consisten en flechas i\rightarrow j si y sólo si i\le j. Un sistema directo entonces es justamente un funtor covariante \mathcal{I}\rightarrow \mathcal{C}.

Definición general

Sean  \mathcal I y  \mathcal C categorías. Sea c_X: \mathcal I\rightarrow \mathcal C un funtor constante para algún objeto fijado  X\in \mathcal C . Se define para cada funtor  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C el funtor

 \lim_{\longrightarrow} F: \mathcal C \rightarrow \mathbf{Set}

el cual asigna a cada  X\in \mathcal C el conjunto  \mathrm{Hom}(F,c_X) de transformaciones naturales de F a  c_X . Si  \lim_{\longrightarrow} F es representable, el objeto que se representa en  \mathcal C es llamado límite directo de F y también se denota como  \lim_{\longrightarrow }F .

Si  \mathcal C es una categoría abeliana, entonces sumas directas arbitrarias (y también infinitas) de objetos existen (este es el axioma de Grothediecks AB3). Luego  \lim_{\longrightarrow} F es representable para cada funtor  F: \mathcal I\rightarrow \mathcal C y

 \lim_{\longrightarrow}: \mathrm{Hom}(\mathcal I, \mathcal C)\rightarrow \mathcal C, F\mapsto \lim_{\longrightarrow} F

es un funtor aditivo exacto derecho de categorías abelianas.

Ejemplos

\mathrm{Hom} (\varinjlim X_i, Y) = \varprojlim \mathrm{Hom} (X_i, Y).

Construcciones relacionadas y generalizaciones

La categoría dual del límite directo se llama límite inverso (o límite proyectivo). Conceptos más generales son los límites y colímites de teoría de categorías. La terminología es algo confusa: los límites directos son colímites mientras que los límites inversos son límites.

Véase también

Referencias

Enlaces externos

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