Número áureo

El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción[2]) es un número irracional,[3] representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.

La ecuación se expresa de la siguiente manera:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1,61803398874988...

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.

También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[4] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alpha minúscula.[5]

Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.

Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.

Definición

El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

\frac{a+b}{a}=\frac ab

Siendo el valor del número áureo φ el cociente: \phi = a/ b Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo

Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:

\frac{a+b}{a}=\frac ab

Si \varphi = a / b entonces la ecuación queda:

 1 +  \varphi^{-1} = \varphi, \qquad \Rightarrow
\varphi + 1 = \varphi^2, \qquad \Rightarrow
\varphi^2 - \varphi - 1 = 0

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

 \frac{1+\sqrt{5}}{2}=1\textrm{.}6180339887498948482045868343656381177203\ldots

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación a / b.

Historia del número áureo

Algunos autores sugieren que el número áureo se encuentra como proporción en varias estelas de Babilonia y Asiria de alrededor de 2000 a. C. Sin embargo, no existe documentación histórica que indique que el número áureo fuera utilizado conscientemente por dichos artistas en la elaboración de las estelas. Cuando se mide una estructura compleja, es fácil obtener resultados curiosos si se tienen muchas medidas disponibles. Además, para que se pueda afirmar que el número áureo está presente, las medidas deben tomarse desde puntos significativos del objeto, pero este no es el caso de muchas hipótesis que defienden la presencia del número áureo. Por todas estas razones Mario Livio concluye que es muy improbable que los babilonios hayan descubierto el número áureo.[6]

Antigüedad

El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor".


Euclides Los Elementos Definición 3 del Libro Sexto.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros; es decir, es un número irracional.

Platón (c. 428-347 a. C.) vivió antes de que Euclides estudiara el número áureo. Sin embargo, a veces se le atribuye el desarrollo de teoremas relacionados con el número áureo debido a que el historiador griego Proclo escribió:

"Eudoxo... multiplicó el número de teoremas relativos a la sección a los que Platón dio origen".


Proclo en Un comentario sobre el Primer Libro de los Elementos de Euclides.

Aquí a menudo se interpretó la palabra sección (τομή) como la sección áurea. Sin embargo a partir del siglo XIX esta interpretación ha sido motivo de gran controversia y muchos investigadores han llegado a la conclusión de que la palabra sección no tuvo nada que ver con el número áureo. No obstante, Platón consideró que los números irracionales, descubiertos por los pitagóricos, eran de particular importancia y la llave de la física del cosmos. Esta opinión tuvo una gran influencia en muchos filósofos y matemáticos posteriores, en particular los neoplatónicos.

A pesar de lo discutible de su conocimiento sobre el número áureo, Platón se ocupó de estudiar el origen y la estructura del cosmos, cosa que intentó usando los cinco sólidos platónicos, construidos y estudiados por Teeteto. En particular, combinó la idea de Empédocles sobre la existencia de cuatro elementos básicos de la materia, con la teoría atómica de Demócrito. Para Platón, cada uno de los sólidos correspondía a una de las partículas que conformaban cada uno de los elementos: la tierra estaba asociada al cubo, el fuego al tetraedro, el aire al octaedro, el agua al icosaedro, y finalmente el Universo como un todo, estaba asociado con el dodecaedro.

Edad Moderna

En 1509 el matemático y teólogo italiano Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:

  1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
  2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad.
  3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
  4. La autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
  5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro, el número áureo dio ser al dodecaedro.

En 1525, Alberto Durero publicó Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas, donde describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa”.


Johannes Kepler en Mysterium Cosmographicum (El misterio cósmico).

El primer uso conocido del adjetivo áureo, dorado, o de oro, para referirse a este número lo hace el matemático alemán Martin Ohm, hermano del célebre físico Georg Simon Ohm, en la segunda edición de 1835 de su libro Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales). Ohm escribe en una nota al pie:

"Uno también acostumbra llamar a esta división de una línea arbitraria en dos partes como éstas la sección dorada".


Martin Ohm en Die Reine Elementar Matematik (Las matemáticas puras elementales).

A pesar de que la forma de escribir sugiere que el término ya era de uso común para la fecha, el hecho de que no lo incluyera en su primera edición sugiere que el término pudo ganar popularidad alrededor de 1830.

En los textos de matemáticas que trataban el tema, el símbolo habitual para representar el número áureo fue τ, del griego τομή, que significa ‘corte o sección’. Sin embargo, la moderna denominación Φ o φ la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en honor a Fidias, ya que ésta era la primera letra de su nombre escrito en griego (Φειδίας). Este honor se le concedió a Fidias por el máximo valor estético atribuido a sus esculturas, propiedad que ya por entonces se le atribuía también al número áureo. Mark Barr y Schooling fueron responsables de los apéndices matemáticos del libro The Curves of Life, de sir Theodore Cook.

El número áureo en las matemáticas

Propiedades y representaciones

Ángulo de oro
{\frac{360^\circ}{\varphi+{1}}} \approx 137{,}5^\circ razón número áureo

Propiedades aritméticas

\varphi^2 = \varphi + 1\
\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \
\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \
El caso más simple es: \Phi^n = \Phi^{n-1}+\Phi^{n-2}\,, cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente de orden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma:
a_1 u_{n+k-1}+a_2 u_{n+k-2}+...+a_k u_n\,,
donde a_i\, es cualquier número real o complejo y k es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es \scriptstyle k=2\,, \scriptstyle a_1 = 1\, y \scriptstyle a_2 = 1\,.
Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
\Phi^n = \Phi^{n-2} + 2 \Phi^{n-3} + \Phi^{n-4}\,. Aquí \scriptstyle  k = 4\,, \scriptstyle  a_1 = 0\,, \scriptstyle a_2 = 1\,, \scriptstyle a_3 = 2\, y \scriptstyle a_4 = 1\,.
Si anulamos las dos potencias inmediatamente anteriores, también hay una fórmula recurrente de orden 6:
\Phi^n = \Phi^{n-3} + 3 \Phi^{n-4} + 3 \Phi^{n-5} + \Phi^{n-6}\,
En general:
\Phi^n = \sum_{i=0}^{\textstyle \frac {1}{2} k}{\textstyle 

\frac{1}{2}k\choose i}\Phi^{\left [\textstyle n-\left(\textstyle \frac{1}{2}k+i\right)\right]}\textstyle;k=2j\in \mathbb{N}\,\textstyle, n\in \mathbb{N}\,\textstyle, i\in \mathbb{N}.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de \Phi\,, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de \Phi\, corresponde a una potencia positiva de su inverso, la sección áurea.
Este curioso conjunto de propiedades y el hecho de que los coeficientes significativos sean los del binomio, parecieran indicar que entre el número áureo y el número e hay un parentesco.
\sqrt{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\sqrt{3+\sqrt{5}}.

Representación mediante fracciones continuas

La expresión mediante fracciones continuas es:

\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi =
1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}}

Esta iteración es la única donde sumar es multiplicar y restar es dividir. Es también la más simple de todas las fracciones continuas y la que tiene la convergencia más lenta. Esa propiedad hace que además el número áureo sea un número mal aproximable mediante racionales que de hecho alcanza el peor grado posible de aproximabilidad mediante racionales.[7]

Por ello se dice que \varphi es el número más alejado de lo racional o el número más irracional. Este es el motivo por el cual aparece en el teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser.

Representación mediante ecuaciones algebraicas

\varphi(\varphi - 1) = 1 \quad \longrightarrow \quad \varphi^2 - \varphi - 1 = 0 \quad \longrightarrow \quad \varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, que surge de la ecuación definitoria de un término cualquiera en la sucesión de Fibonacci, a partir del tercero[8]

El número áureo \frac{\sqrt{5} + 1}{2} y la sección áurea \frac{\sqrt{5} - 1}{2} son soluciones de las siguientes ecuaciones:

\ x^2 - \sqrt{5}\, x + 1 = 0
\ x^3 - y^3 - 4 = 0
\ x^4 -x^3 - x -1 = 0
\ 8x^3 -4x +1 = 0 que da el valor de sen 18º e ímplícitamente al número aúreo[9]

Inecuación algebraica

φ/2 >(4 -φ2)1/2[10]

Representación trigonométrica

\varphi = 1+2\sin(\pi/10) = 1 + 2\sin 18^\circ
\varphi = {1 \over 2}\csc(\pi/10) = {1 \over 2}\csc 18^\circ
\varphi = 2\cos(\pi/5)=2\cos 36^\circ
\varphi = \frac{1}{2} \sec \frac{2}{5} \, \pi = \frac{1}{2} \sec 72^\circ
\varphi = \frac{\sin(2\pi/5)}{\sin(1\pi/5)} \, = \frac{\sin(72^\circ)}{\sin(36^\circ)}

Éstas corresponden al hecho de que el diámetro de un pentágono regular (distancia entre dos vértices no consecutivos) es φ veces la longitud de su lado, y de otras relaciones similares en el pentagrama.

Representación mediante raíces anidadas

\varphi = \sqrt{1 + \varphi} \quad \longrightarrow \quad \varphi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 +\cdots }}}}

Esta fórmula como caso particular de una identidad general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly, 1917.

El teorema general dice:

La expresión \lim_{n \to \infty} \sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4 +\sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}}} (donde a_i=a\,), es igual a la mayor de las raíces de la ecuación: x^2 - x - a = 0; o sea, \frac {1 + \sqrt{1 + 4a}}{2}.

Relación con la sucesión de Fibonacci

Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número de Fibonacci como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón oscila y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe al número áureo produce siempre números de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción. Por ejemplo: \textstyle \frac{3}{2}= 1,5; \textstyle \frac{8}{5} = 1,6; y \textstyle \frac{21}{13}= 1,61538461..., lo que se acerca considerablemente al número áureo. Entonces se tiene que:

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi

Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler, pero pasaron más de cien años antes de que fuera demostrada por el matemático inglés Robert Simson.

Con posterioridad se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2 tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos números naturales arbitrarios, por ejemplo 3 y 7, la sucesión recurrente resulta: 3 - 7 - 10 - 17 - 27 - 44 - 71 - 115 - 186 - 301... Los cocientes de términos sucesivos producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso y por defecto al mismo límite: 44/27 = 1,6296296...; 71/44 = 1,613636...; 301/186 = 1,6182795.[11]

A mediados del siglo XIX, el matemático francés Jacques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés, Abraham de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci sin la necesidad de producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet depende exclusivamente del número áureo:

F_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left (\frac{1 +\sqrt{5}}{2} \right )^n - \left (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right )^n \right ]\quad=\frac{1}{\sqrt{5}} \left [ \left ( \phi \right )^n - \left (\frac{-1}{\phi} \right )^n \right ] \quad

El número áureo en la geometría

El tríangulo de Kepler:
\varphi^2 = \varphi + 1\;

El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco.

El rectángulo áureo de Euclides

El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides, en su proposición 2.11 de Los elementos, obtiene su construcción:

 GC = \sqrt{5}

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto:

GE=GC=\sqrt{5}

con lo que resulta evidente que

 AE = AG + GE = 1 + \sqrt{5}

de donde, finalmente,

\frac{AE}{AD} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}= \varphi

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que este último es asimismo un rectángulo áureo.

Generación de un rectángulo áureo a partir de otro.

En el pentagrama

Los segmentos coloreados del pentagrama poseen proporciones áureas.

El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares y en los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento se interseca con otro segmento en una razón áurea.

El pentagrama incluye diez triángulos isóceles: cinco acutángulos y cinco obtusángulos. En ambos, la razón de lado mayor y el menor es φ. Estos triángulos se conocen como los triángulos áureos.

Teniendo en cuenta la gran simetría de este símbolo, se observa que dentro del pentágono interior es posible dibujar una nueva estrella, con una recursividad hasta el infinito. Del mismo modo, es posible dibujar un pentágono por el exterior, que sería a su vez el pentágono interior de una estrella más grande. Al medir la longitud total de una de las cinco líneas del pentáculo interior, resulta igual a la longitud de cualquiera de los brazos de la estrella mayor, o sea Φ. Por lo tanto, el número de veces en que aparece el número áureo en el pentagrama es infinito al añadir infinitos pentagramas.

El teorema de Ptolomeo y el pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular.

Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema, se forma un cuadrilátero al quitar uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden b, y los lados y la base menor miden a, resulta que b2 = a2 + ab lo que implica:

{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\,.

Pentágono estrellado

Aparece el número de la justa razón entre los segmentos parciales de los lados de un pentágono estrellado.[12]

Trigonometría

El seno de 18º es la mitad del inverso del número de la justa razón.[13]

Relación con los sólidos platónicos

El número áureo está relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo.

Los 12 vértices de un icosaedro con aristas de longitud 2 pueden expresarse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos:

(0, ±1, ±φ), (±1, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1)

Los 20 vértices de un dodecaedro con aristas de longitud 2/φ=√5−1 también se pueden dar en términos similares:

(±1, ±1, ±1), (0, ±1/φ, ±φ), (±1/φ, ±φ, 0), (±φ, 0, ±1/φ)

Los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro.

Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo:

A = 3\sqrt{15 +20\varphi} \cdot a^2
V = \frac {4 + 7\varphi}{2} \cdot a^3

Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, los 12 vértices de los tres rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro.

El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro.

El número áureo en la Naturaleza

En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y/o los números de Fibonacci:

El número áureo en el arte y en la cultura

En la representación del Hombre de Vitruvio Leonardo da Vinci no utiliza el número áureo, sino el sistema fraccionario propuesto por Vitruvio

Otros investigadores famosos se inclinan por la hipótesis de que los constructores intentaron una cuadratura del círculo, pues la raíz cuadrada del número áureo se aproxima mucho al cociente de 4 sobre π. Pero una construcción tal, aunque se conociera π con una aproximación grande, carecería completamente de interés geométrico.[28]

No obstante, con base en mediciones no es posible elegir entre una u otra pues la diferencia sobre el monumento real no es mayor a 14,2 cm y esta pequeña variación queda enmascarada por las incertidumbres de las medidas, los errores constructivos y, principalmente, porque la pirámide perdió el revestimiento en manos de los primeros constructores de El Cairo. Para que esto quede más claro, una precisión del 1 por mil en una base de 230 metros equivale a 23 centímetros y en la altura está en el orden de la diferencia real que debería existir entre ambas posibilidades.

Como dato adicional para indicar la complejidad del tratamiento del edificio se tiene que en 1837 fueron descubiertas correcciones ópticas en el Partenón. El templo tiene tres vistas principales y si sus columnas estuvieran efectivamente a plomo, todas sus líneas fuesen paralelas y perfectamente rectas y los ángulos rectos fueran exactos, por las propiedades de la visión humana el conjunto se vería más ancho arriba que en la base, sus columnas se percibirían inclinadas hacia afuera y la línea que fundamenta el techo sobre las columnas se vería como una especie de catenaria, con los extremos del edificio aparentemente más altos que el centro. Los constructores hicieron la construcción compensando estos efectos de ilusión óptica inclinando o curvando en sentido inverso a los elementos involucrados. Así las columnas exteriores, en ambos lados del frente, están inclinadas hacia adentro en un ángulo de 2,65 segundos de arco, mientras que las que están en el medio tienen una inclinación de 2,61 segundos de arco. La línea que formarían los dinteles entre columnas y que constituye la base del triángulo que corona el edificio, en realidad es un ángulo de 2,64 segundos de arco con el vértice más elevado que los extremos. De esta forma, y con otras correcciones que no se mencionan aquí, se logra que cualquier observador que se sitúe en los tres puntos principales de vista vea todo el conjunto paralelo, uniforme y recto.[31]

Véase también

Referencias

  1. Fernando Corbalán (2010). La proporción áurea. RBA Coleccionables S. A. ISBN 978-84-473-6623-1.
  2. Luca Pacioli, De Divina Proportione (De la divina proporción, escrito entre 1496 y 1498.
  3. Este número es irracional, aunque es algebraico de segundo grado por ser raíz de una ecuación cuadrática y también constructible mediante regla y compás, y existen numerosas aproximaciones racionales con mayor o menor error. En el año 2008 se obtuvieron cien mil millones de cifras decimales correctas. (Ver: http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html) Al igual que ocurre con la raíz cuadrada de dos, es posible construir un segmento idealmente exacto con regla no graduada de un solo borde y longitud indefinida y un compás de abertura variable.
  4. Proporción Áurea en WolframMathWorld
  5. N.N. Vorobiov:Lecciones de matemáticas populares. Números de Fibonnacci, Editorial Mir, Moscú (1974)
  6. Mario Livio (2002). The Golden Ratio. Broadway Books. ISBN 0-7679-0816-3.Mario Livio (2009). La Proporción Áurea. La historia de phi, el número más sorprendente del mundo. Editorial Ariel S. A. ISBN 978-84-394-4495-X.
  7. Bad approximable numbers in WolframMathWorld
  8. Vorobiov: Op. cit.
  9. Vavilov: Problemas de matemática. editorial mir, moscú
  10. Adaptación de un problema inserto en "Problemas Matemáticos" de Litvinenko y Mordkóvich.Editorial Mir, Moscú ( 1984)
  11. Trabajo presentado por Mark Barr y Shooling en la revista The Field del 14 de diciembre de 1912.
  12. Bruño: Geometría superior
  13. Se calcula partiendo de seno y coseno de 36º
  14. Se halla usando los respectivos valores de los dos datos
  15. Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo IV: "Flat Spirals in Shells".
  16. N. N. Vorobiov; traducción de Carlos vega (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, rústica, 112 páginas.
  17. 1 2 3 4 Sir Theodore Andrea Cook (1914). The Curves of Life. Constable and Company Ltd, Londres, Capítulo V: "Botany: The Meaning of Spiral Leaf Arrangements", página 81 en adelante.
  18. http://www.archive.org/stream/cu31924028937179#page/n10/mode/1up (Libro on line, Biblioteca del Congreso de Estados Unidos de América)
  19. 1 2 Artículo publicado por Astroseti: “Las espirales de Fibonacci podrían estar relacionadas con la tensión “ 26/04/2007 (Probablemente, también con el principio de mínima acción): "Zexian Cao y sus colegas de la Academia de Ciencias China usaron la ingeniería de tensión para crear microestructuras de distintas formas de sólo 12 μm de longitud con un núcleo de plata y una cáscara de SiO2. Descubrieron que si se establecían las cáscaras en formas esféricas durante el enfriamiento, se formaban en ellas patrones de tensión triangulares. Por otra parte, si se establecían en formas cónicas, aparecían patrones de tensión en espiral. Estos patrones espirales eran “espirales de Fibonacci" – esto es, espirales que tienen sus dimensiones gobernadas por las series de Fibonacci." "El equipo de Cao no cree que las espirales de Fibonacci se formen por accidente, sin embargo – creen que su causa puede estar relacionada con un delicado problema planteado por el físico J. J. Thomson en 1904. Thomson preguntó cómo un conjunto de cargas se organizaría a sí mismo en una esfera conductora para minimizar su energía. Los físicos han calculado ya que las cargas tomarían patrones triangulares – similares a las microestructuras esféricas de Cao. Debido a esto, el equipo de Cao piensa que las espirales de Fibonacci en las microestructuras cónicas debe ser la configuración equivalente de energía mínima (y por tanto tensión mínima) para un cono, aunque no han llevado a cabo cálculos por sí mismos." "Los biólogos han sospechado desde hace tiempo que las ramas de los árboles y otras ocurrencias de la serie de Fibonacci en la naturaleza son simples reacciones para la minimización de la tensión, pero hasta ahora no se había encontrado ninguna prueba concreta. «Nuestro experimento usando materiales puramente inorgánicos proporciona la prueba para este principio», comenta Cao a Physics Web."
  20. 1 2 3 "[...] la flor de un girasol está formada por pequeñas estructuras que se encuentran alineadas de tal forma que producen hileras dispuestas en espiral, algunas de ellas abren sus brazos en el sentido de las agujas del reloj y las restantes en la dirección contraria. Si las contamos veremos que siempre habrá 13 espirales que se abren hacia la derecha por 21 que se abren a la izquierda (13/21). Este hecho puede parecer banal, pero adquiere relevancia cuando se repite esta cuenta con girasoles de diferentes tamaños y con otras flores como las margaritas y los mirasoles; pues encontramos que algunas tienen 21/34, otras 34/55 y que incluso las hay de 55/89. [...]" Miramontes, Pedro (abril-junio 1996). «"La geometría de las formas vivas"». E Journal, Universidad Autónoma de México (42).
  21. 1 2 "Los números de Fibonacci en Botánica ocurren con gran regularidad. En 1968, Brousseau usó 4290 piñas de diez especies de pinos encontrados en California, de las cuales solo 74 piñas (1.7 por ciento) se desvió de los números de Fibonacci. En 1992, Jean R.V. en su artículo “Model texting in phyllotaxis” publicó que de 12.750 observaciones en 650 especies encontradas en la literatura de Botánica de los últimos 150 años, la sucesión de Fibonaci aparecía en más del 92 por ciento de todos los posibles casos de plantas con disposición espiral de sus elementos. Entre los 12.750 casos, la sucesión de Lucas (Edouard A. Lucas, 1842- 1891) se encontró en un dos por ciento. Coxeter llama a la apariencia de los números de Fibonacci: “Fascinante tendencia”. Otros se refieren a la prevalencia de Fibonacci como: “El misterio de la Filotaxis” o “La obsesión o pesadilla de los botánicos.” La disposición de las escamas de las piñas, frutos de diferentes especies de pinos, se organiza en torno a dos espirales de escamas: una dextrógira y otra levógira. Se ha constatado empíricamente que en un número muy elevado de estas especies, son números consecutivos de la sucesión de Fibonacci. Otros ejemplos son las tortas de girasol, las cabezuelas de las margaritas, etc. Las hojas de la mayor parte de plantas de tallo alto, están colocadas alrededor del mismo pudiendo ser recorridas siguiendo una espiral (figura 13). Mas concretamente, en Filotaxis se verifica la llamada ley de divergencia: “para cada especie de plantas el ángulo que forman dos hojas consecutivas, llamado ángulo de divergencia, es constante”." (Página 23 en adelante) Reyes Iglesias, Encarnación (2009). «"Arte y Naturaleza en clave geométrica"». Universidad de Valladolid.
  22. LA RAZÓN AUREA - Ministerio de Educación de España
  23. Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso", páginas 118 a 144.
  24. D'Arcy Wentworth Thompson (1917). "On Growth and Form". Cambridge University Press. D'Arcy Wentworth Thompson (1992). "On Growth and Form". Dover edition, 1116 páginas. D'Arcy Thompson (1980). "Sobre el Crecimiento y la Forma. Editorial Hermann Blume, Madrid.Existen ediciones de unas 300 páginas, una reciente de Cambridge.
  25. Es una paráfrasis de un pensamiento de Ruskin mencionado en la página 139 del libro citado de Matila Ghyka.
  26. En cualquier ser orgánico o inorgánico sus partes constituyentes (moléculas, átomos, células) son objetos que tienen dimensiones; el punto geométrico no. Por esa razón, cuando se sostiene que se verifica una proporción esta no será jamás un número iracional con infinitos decimales, pues ello implicaría que las partes que forman al objeto en cuestión no tuvieran dimensiones como los puntos geométricos. Tendremos forzosamente un intervalo de incertidumbre, del que podremos indicar por lo menos dos racionales que lo limitan. Explicado de otra forma: si una célula está en el borde de un ser y decimos que otra parte está situada en proporción áurea con ese borde, ¿Desde dónde tenemos que medir para que haya infinitos decimales exactos? Esa célula no es un cuerpo rígido, se deforma, los bordes no son líneas perfectas. En la práctica la mayoría de los decimales infinitos del número áureo no tendrán razón de aparecer debido a la incertidumbre de la medida.
  27. Ghyka, Matila. "Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes", Capítulo V: "Del Crecimiento Armonioso"; obra citada.
  28. "Lógicamente, la tesis de la sección áurea parecería más probable, porque de ella emana una construcción rigurosa, elegante y sencilla del triángulo meridiano, mientras que en la otra hipótesis, aún suponiendo conocido con una aproximación muy grande el valor de π, la construcción sería puramente empírica y desprovista de verdadero interés geométrico" [Es notable, además, que aunque los antiguos no sabían de la trascendencia de π, estaban completamente conscientes de la carencia de exactitud de algunos intentos de cuadratura del círculo] Matila Ghyka (1953). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes. Editorial Poseidón, Buenos Aires, Capítulo VIII: "La Pirámide de Keops", página 222.
  29. Jay Hambidge (1920; 1930; 1931). "Dynamic Symmetry The Greek Vase". Yale University Press, New Haven.Jay Hambidge (22 de agosto de 2007). Dynamic Symmetry The greek vase. Rough Draf Printing. ISBN 978-1-60386-037-6.
  30. Jay Hambidge (1924). "The Parthenon and Other Greek temples, their Dynamic Symmetry". Yale University Press, New haven. Hay todavía disponibles ejemplares de esa edición, tanto nuevos como usados y a la venta a aproximadamente $ (USA) 250.
  31. Banister; Fletcher. "A History of Architecture". B. T. Basford, Londres.
  32. The golden ratio and aesthetics, by Mario Livio.
  33. http://www.educacion.gob.es/exterior/ad/es/publicaciones/Aula_Abierta2_Belleza.pdf, página 86.
  34. J. L. Ferrier, Dalí, Leda atómica, París: Denöel, Gonthier, 1980.
  35. 1 2 Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Filosofía. "Aspectos Estéticos de la Divina proporción. Memoria para optar al grado de Doctor", Araceli Casans Arteaga, Madrid, 2001, ISBN: 84-669-1867-1. http://eprints.ucm.es/tesis/fsl/ucm-t25388.pdf
  36. S. M. Eisenstein, La nueva etapa del contrapunto del montaje, en contracampo, nro. 29, año IV, abril-junio 1982, página 42.
  37. Por ejemplo, la sonata Nº 1 de Mozart para piano subdivide su primer movimiento en 38 y 62 compases. El cociente, 62/38 = 1,6315, difiere en menos de un 1% de la proporción áurea. Lo mismo puede decirse de su segundo movimiento, que con 28 y 46 compases en sus dos secciones principales arrojan una proporción 46/28 = 1,6428, también muy cercana a φ. La sonata Nº 2 subdivide el primer movimiento en 56 y 88 compases, cuyo cociente es 88/56 = 1,5714, también bastante próximo a la relación áurea. Aunque desde luego no toda la música se secciona de esta manera, es uno de los posibles principios para la organización del tiempo en la música. Otro es la simetría, según el cual las secciones tienen igual duración. Curiosamente, la simetría funciona mejor en el corto plazo (a nivel de frases o motivos), mientras que la relación áurea domina las grandes extensiones. Se ha argumentado que en tiempos considerables el ser humano es incapaz de percibir objetivamente la duración, pero es posible que sí exista una percepción inconsciente de la estructura general. "La música de las esferas: de Pitágoras a Xenakis... y más acá", Apuntes para el coloquio del Departamento de Matemática, Federico Miyara, páginas 14 y 15. http://www.sectormatematica.cl/musica/esferas.pdf
  38. http://www.youtube.com/watch?v=jZjYLbZh_mo&feature=related

Bibliografía

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