Objeto inicial, final y cero

En teoría de categorías, una rama abstracta de las matemáticas, un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para todo objeto X en C existe un único morfismo IX. La noción dual es la de objeto final es decir, un objeto F es final si para todo objeto X en C existe un único morfismo XF.

Si un objeto es tanto inicial como final, recibe el nombre de objeto cero.

Propiedades

Existencia y unicidad

En una categoría arbitraria no necesariamente existen objetos iniciales ni finales, sin embargo, si existen son esencialmente únicos, es decir si I1 y I2 son dos objetos iniciales, entonces hay un único isomorfismo entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, entonces cualquier objeto isomorfo a I es inicial. Por dualidad, todo lo anterior es cierto para objetos finales.

Objeto cero

Si 0 es un objeto cero, entonces de la definición se puede deducir que para cualesquiera dos objetos A y B de la categoría, existe un único morfismo A → 0 → B, que comúnmente recibe el nombre de morfismo cero. Si la categoría es abeliana (o incluso aditiva) el morfismo cero es el neutro bajo la operación aditiva de morfismos.

Ejemplos

Referencias

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