Operación matemática

Operadores suma, resta, multiplicación y división.

En álgebra, una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

En aritmética y cálculo el conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.


Propiedades de las operaciones

Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

Leyes de la desigualdad

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

Regla de los signos

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:


   \begin{cases}
      + \cdot -  = - \\
      + \cdot +  = + \\
      - \cdot -  = + \\
      - \cdot +  = -
   \end{cases}

Álgebra abstracta

Operación interna

Una operación  f_{}^{} es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto  A_{}^{} .


   f: \; A^I \to A \; , \; A^I =A \times A \times \cdots^I \times A = \prod_{i \in I} A_{i} \; , \;\; I
es un conjunto.

Que también puede expresarse:


   (a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \xrightarrow{f} \; b

O también:


   f(a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n ) \; \to \; b

Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:

Operación n-aria

Diremos que f_{}^{} es una operación n-aria en el conjunto  A_{}^{}, si:

 f: A_{}^{n} \to A

a n_{}^{} \in \mathbb{N} se le llama la ariedad o anidad.

Operación binaria

Una operación es binaria cuando  n es igual a dos:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; A \times A & \to & A       \\
              &         (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

y también:

 a \star b \; \to \; c
 (a, b ) \; \xrightarrow{\star} \; c
 \star(a, b ) \; \to \; c

Ejemplo:

En el conjunto de los números naturales,  \mathbb{N} , la operación de adición: +: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N},  ( N , +) \, , con las diferentes expresiones:

  1.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad a + b \to c
  2.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad (a, b ) \; \xrightarrow{+} \; c
  3.  a, b, c \in\mathbb{N}, \quad +(a, b ) \; \to \; c

donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.

Operación unaria

Una operación unaria, con un solo parámetro:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; A & \to & B            \\
              &    a & \to & b = \star (a)
   \end{array}

también suelen denominarse funciones.

Ejemplos:


   \begin{array}{rrcl}
      in : & \; N & \to & N       \\
              &    a & \to & b = in(a)
   \end{array}

Donde:


   in (n ) = n+1 \; : \; n \in \mathbb{N}

   \begin{array}{rrcl}
      op : & \; Z & \to & Z       \\
          &    a & \to & b = op(a)
   \end{array}

esto es:


   op (e) = - e \; : \; e \in \mathbb{Z}

Operación 0-aria

Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación  f: A^0 \to A es decir:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; \emptyset & \to & A       \\
              &           () & \to & b = \star ()
   \end{array}

Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:


   \begin{array}{rrcl}
      pi : & \; \emptyset & \to & R       \\
            &           () & \to & a = pi ()
   \end{array}

Que asigna a a el valor real del número pi.

Operación externa

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : & \; B \times A & \to & A       \\
              &         (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Ejemplo: Dado el conjunto  V_2 \; de los vectores en el plano y el conjunto de escalares  \R de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:


   \begin{array}{rrcl}
      \cdot : &  R \times V_2 & \to & V_2      \\
              &   (a,\vec{v}) & \to & \vec{u} = a \cdot \vec{v}
   \end{array}

Dado el vector:


   \vec{v} = 3i +6j \;

Si lo multiplicamos por un escalar 3:


   3 \cdot \vec{v} = 3 \cdot (3i +6j) = (9i +18j) = \vec{u}

podemos ver que los dos vectores son del plano:


  (3i +6j), (9i +18j) \in V_2

Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:


   \begin{array}{rrcl}
      \star : &  A \times A & \to & B       \\
              &       (a,b) & \to & c = a \star b
   \end{array}

se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano, da como resultado un número real, esto es:


   \begin{array}{rrcl}
      \circ : &    V_2 \times V_2 & \to & R       \\
              & (\vec{u},\vec{v}) & \to & a = \vec{u} \circ \vec{v}
   \end{array}

Tomando los vectores del plano:


   \vec{u} = (x_1, y_1)

   \vec{v} = (x_2, y_2)

Y siendo su producto escalar:


   \vec{u} \circ \vec{v} =
   (x_1, y_1) \circ (x_2, y_2) =
   x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2

Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:


   \vec{u} = (3, 6)

   \vec{v} = (5, 2)

Operando


   \vec{u} \circ \vec{v} =
   (3, 6) \circ (5, 2) =
   3 \cdot 5 + 6 \cdot 2 =
   15 + 12 = 27

Referencias

  1. Mirsky, Lawrence, 1990, p.72-3
  2. J. Barja Perez, pg 7
  3. Donald w. Barnes, pg 2

Bibliografía

Véase también

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