Producto (teoría de categorías)

En teoría de categorías, el producto de dos (o más) objetos es una noción que captura la esencia detrás de otras construcciones en otras áreas de las matemáticas tales como producto cartesiano de conjuntos, el producto directo de grupos, producto directo de anillos, el producto de espacios topológicos entre otros. Esencialmente el producto de una familia de objetos es el "más general" de los objetos que admite morfismos a cada uno de los objetos dados.

Definición

Sea C una categoría, X_1 y X_2 objetos de C. Un objeto X es el producto de X_1 y X_2, denotado X_1 \times X_2 si y solo si satisface la siguiente propiedad universal

Existe morfismos \pi_1 : X \to X_1, \pi_2 : X \to X_2, llamadas proyecciones canónicas o proyecciones tal que para cualquier otro objeto Y y un par de morfismos f_1 : Y \to X_1, f_2 : Y \to X_2 existe un único morfismo f : Y \to X tal que el siguiente diagrama conmuta:

El único morfismo f recibe el nombre de morfismo producto de f_1 y f_2 y se denota por \langle f_1, f_2 \rangle.

Se acaba de definir el producto binario. En lugar de dos objetos considere una familia arbitraria de objetos indicada por algún conjunto I. Entonces obtenemos la definición de un producto.

Un objeto X es el producto de una familia \{X\}_i de objetos si y solo si existen morfismos \pi_i : X \to X_i, tal que para cualquier otro objeto Y y una familia de morfismos f_i : Y \to X_i indicados por I existe un único morfismo f : Y \to X tal que el siguiente diagrama conmuta para cualquier i \in I

El producto se denota como \prod_{i\in I} X_i; si I = \{1,\ldots, n\}, entonces se denota como X_1 \times \cdots \times  X_n y el morfismo producto como \langle f_1, \ldots, f_n \rangle.

De forma alterna, el producto puede ser definido totalmente mediante ecuaciones, aquí esta un ejemplo para el producto binario:

También el producto puede ser obtenido a partir del límite. Una familia de objetos es un diagrama sin morfismos. Si consideramos nuestro diagrama como un funtor, entonces es un funtor desde I considerada como una categoría discreta. Entonces la definición de producto coincide con la definición de cono limite para este funtor.

Ejemplos

En la categoría Set (la categoría de conjuntos) el producto para la categoría es el producto cartesiano. Dada una familia de conjuntos Xi el producto es definido como

\prod_{i \in I} X_i := \{(x_i)_{i \in I} | x_i \in X_i \, \forall i \in I\}

con las proyecciones

\pi_j : \prod_{i \in I} X_i \to X_j \mathrm{ , } \quad \pi_j((x_i)_{i \in I}) := x_j

Dado cualquier otro conjunto Y con una familia de funciones :f_i : Y \to X_i la flecha universal f se define como

f:Y \to \prod_{i \in I} X_i \mathrm{ , } \quad f(y) := (f_i(y))_{i \in I}

Discusión

El producto no necesariamente existe; por ejemplo considere una familia infinita de espacios métricos como \mathbb{R}^\mathbb{N} and \mathbb{R}^\mathbb{R}, no existe tal cosa como el producto métrico de ellos.

Una categoría en donde para cualquier conjunto finito de objetos existe su producto entonces es llamada categoría cartesiana

Supongamos que C es una categoría cartesiana y 1 denota el objeto final de la categoría C. Entonces tenemos los siguientes isomorfismos naturales.

X\times (Y \times Z)\simeq (X\times Y)\times Z
X\times 1 \simeq 1\times X \simeq X
X\times Y \simeq Y\times X

Estas propiedades son similares a aquellas dadas en un monoide conmutativo; una categoría que tiene productos finitos forma una categoría simétrica monoidal

Distributividad

En una categoría con productos y coproductos finitos existe un morfismo canónico X×Y+X×ZX×(Y+Z), donde el signo aditivo denota el coproducto, para comprender esto observe que tenemos varias proyecciones e inyecciones canónicas que completan el diagrama:

La propiedad universal para X×(Y+Z) garantiza un único morfismo X×Y+X×ZX×(Y+Z),. Una categoría distributiva es aquella en el cual este morfismo es realmente un isomorfismo

X\times (Y + Z)\simeq (X\times Y)+ (X \times Z).

Véase también

Referencias

  1. Lambek J., Scott P. J. (1988). Introduction to Higher-Order Categorical Logic. Cambridge University Press. p. 304.

Enlaces externos


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