Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad. Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Un ángulo de 1 radián corresponde al arco de circunferencia cuya longitud es su radio. Una circunferencia completa corresponde a 2π radianes.

Definición

Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de un círculo cuyos lados son cortados por el arco de la circunferencia, y que además dicho arco tiene una longitud igual a la del radio.[cita requerida]

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios dividida entre el radio; es decir, θ = s/r, donde θ es el ángulo, s es la longitud de arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, \scriptstyle{\theta}_\text{circunferencia}, que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

\theta_\text{circunferencia}=\frac {L_\text{circunferencia}}{r} =\frac {2 \pi r}{r}=2 \pi\ \text{rad}\,

Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo x expresado en radianes cumple:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin (x)}{x}=1

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

donde x se expresa en radianes.

Equivalencias

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados   30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 /3 /4 /6 π /6 /4 /3 /2 /3 /4 11π/6

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

De rpm a π rad/s
 \rm \frac{rpm} {60} \cdot 2 = \pi \; rad/s que con la ecuación simplificada:\rm \frac{rpm} {30} = \pi \; rad/s
De π rad/s a rpm
\rm \frac{\pi \; rad/s} {2} \cdot 60 = rpm que con la ecuación simplificada:\rm \pi\; rad/s \cdot 30 =\ rpm

Conversiones entre grados y radianes

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes, expresados como fracciones de π.
Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈ 3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que 180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

Convertir 38° a radianes:

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la posición de los radianes.

\frac { \pi}{180}=\frac {x}{38}

Despejamos x, también simplificamos.

{x}=\frac {38 \pi}{180}=\frac {19 \pi}{90}

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la posición de los grados.

\frac { \pi}{180}=\frac {2.4}{x}

Despejamos x.

x=\frac {180 \cdot 2.4}{ \pi}

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137.5099°".

Véase también

Referencias

Bibliografía

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