Radical de un ideal

En teoría de anillos, una rama de las matemáticas, el radical de un anillo nos muestra ciertas propiedades malas del anillo. Hay diferentes tipos de radicales, como el nilradical o el radical de Jacobson, así como una teoría de propiedades generales radicales.

Definición de radical de un ideal

Sea R un Anillo conmutativo y sea I un ideal del anillo. El conjunto \sqrt{I}:= \{r \in R |  \exist n \in \mathbb{N}, r^n \in I\} (también denotado por Rad(I)) se denomina radical del ideal I (o sencillamente radical de I).

Si a \in \hbox{Rad}(I) es que existe un entero n \geq 0 tal que a^n \in I. Así, si r \in R es (a r)^n =  a^n r^n \in I.

Si además b \in \hbox{Rad}(I) existirá otro entero m \geq 0 de manera que b^m \in I.

Por el Teorema del binomio:

(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}

En cualquier caso, cada sumando de (a+b)^{n+m} está en I, que es un ideal de R, luego (a+b)^{n+m} \in I y será a+b \in Rad(I).

Así Rad(I) es un ideal de R.

Un ideal I de un anillo conmutativo y unitario R se dice que es ideal radical si coincide con su radical, esto es, si Rad(I)=I. Como es obvio, el radical de un ideal es siempre un ideal radical.

Todo ideal primo es radical: En efecto, Si P es un ideal primo, entonces R/P es un dominio íntegral, esto es, no tiene divisores de cero, y en particular no puede tener nilpotentes.

Es sencillo comprobar que si tomamos \pi:R \longrightarrow R/I la proyección canónica de R sobre I, entonces Rad(I) = \pi^{-1}(N(R/I)) (de hecho mediante esta demostración se demuestra de manera inmediata que Rad(I) es un ideal de R; aquí, N(R) es el nilradical de R, definido más abajo). Para ver esto, notar en primer lugar que si r \in \pi^{-1}(N(R/I)), entonces para algún n \geq 0, \pi(r)^n = \pi(r^n) es cero en R/I, y por tanto r^n está en I. Recíprocamente, si r^n está en I para algún n \geq 0 será r^n \in I, entonces (\pi(r))^n = \pi(r^n)es cero en R/I, y por tanto \pi(r) está en N(R/I).

Mediante el uso de la localización, podemos ver que Rad(I) es la intersección de todos los ideales primos de R que contienen a I: cada ideal primo es radical, así que la intersección de los ideales primos que contienen a I contienen a Rad(I). Si r es un elemento de R que no está en Rad(I), entonces sea S el conjunto \{r^n: n \in \mathbb{Z}, n > 0 \}. S es multiplicativamente cerrado, así que podremos formar la localización S^{-1}R.

El nilradical

Sea R un Anillo conmutativo. Primero mostraremos que los elementos nilpotentes de R forman un ideal N. Sean a y b elementos nilpotentes de R con a^n = 0 y b^m = 0. Probamos que a+b es nilpotente. Podemos usar el Teorema del binomio para expandir (a+b)^(n+m) :

(a+b)^{n+m}=\sum_{i=0}^{n+m}{n+m\choose i}a^ib^{n+m-i}

Para cada i, se da una y sólo una de las siguientes condiciones:

Esto dice que en cada expresión a^i \cdot b^{n+m-i}, o bien el exponente de a será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si  i<n entonces es n+m-i > n+m-n = m, luego el exponente de b es mayor o igual que m, y así a^i b^{n+m-i}=a^i \cdot(b^m)^{n+m-i-m}=a^i 0^{n-i}=0), o bien el exponente de b será lo suficientemente grande como para anular la expresión (si i \geq n entonces es a^i b^{n+m-i} = (a^n)^{i-n} b^{n+m-i} = 0^{i-n} b^{n+m-i} = 0 ). Así tenemos que a+b es nilpotente, y por tanto está en N.

Para terminar de comprobar que N es un ideal, cogemos un elemento arbitrario r \in R. (r \cdot a)^n = r^n \cdot a^n = r^n \cdot 0 = 0, así que r \cdot a es nilpotente, y está por tanto en N. Con lo que N es un ideal.

N se denomina entonces nilradical de R, o radical nilpotente de R, y se denota por N(R). Al anillo \frac{R}{N(R)} se le denomina anillo reducido (asociado a R), aunque esta denominación está cayendo en el desuso.

Es inmediato comprobar que N(R/N(R))=\{0\}.

Es sencillo demostrar que N(R)=Rad(\{0\}), esto es, que el nilradical de un anillo es precisamente el radical del ideal nulo. Por esto, el nilradical de R es la intersección de todos los ideales primos de R.

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