Suma directa

Un coproducto o suma directa para una familia $(A_i)_{i \in I}$ de objetos en una categoría $C$ , es un objeto $S$ de $C$ , junto a una familia de morfismos $f_i\colon A_i \to S$ ( $i \in I$ ) tal que para cualquier objeto $B$ y una familia de morfismos $g_i\colon A_i \to B$ , existe un único morfismo $g\colon S \to B$ tal que $g \circ f_i = g_i$ .

No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota $\bigoplus_{i\in I}A_i$ .

Ejemplos

Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:

Sea $(A_i)_{i \in I}$ una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos

S := \{ (a_i)_{i \in I}: a _i \in A_i

y todos los

a_i

son cero, excepto un número finito de ellos

\}

, y definimos

f_i\colon A_i \to S

como la inclusión de

A_i

en la i-ésima coordenada de S.

Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento $k \in$ R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:

(a_i)_{i \in I} + (b_i)_{i \in I} := (a_i + b_i)_{i \in I}

k(a_i)_{i \in I} := (ka_i)_{i \in I}

Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que $W \cap U= \{0\}$ , podemos definir la suma directa interna, denotada $W \oplus U$ , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.

Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de $\mathbb Z$ -módulos.

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. «Direct Sum». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

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