Teorema de Bézout

El teorema de Bezout es un resultado fundamental en el área de la geometría algebraica. Indica el número de intersecciones que hay entre dos curvas algebraicas.

Esencialmente, el teorema afirma que si estamos trabajando con un cuerpo algebraicamente cerrado entonces una curva C de grado n se interseca con una curva D de grado m en exactamente nm puntos, siempre que C y D no tengan factores en común. Hay que ser cuidadosos con este enunciado, ya que al contar los puntos en la intersección, los contabilizamos con su multiplicidad; además las intersecciones son en el plano proyectivo.

Enunciado

Si C y D son curvas algebraicas y P\in C\cap D, el número de intersección entre C y D en P es intuitivamente la cantidad de derivadas en las que coinciden ambas curvas en ese punto. Por ejemplo, si las tangentes de C y D en P no coinciden entonces I_P(C,D)=1, si las tangentes coinciden entonces I_P(C,D)\geq 2.

Decimos que dos curvas C y D no tienen factores en común si el máximo común divisor entre los polinomios que definen a las curvas es 1.

Teorema: Si C y D son curvas de grado m y n sin factores en común entonces \sum_{P\in C\cap D}I_P(C,D) = m\cdot n. 

Los puntos de la intersección son en el plano proyectivo.

Historia

El principio de que una curva con grado n se interseca con una de grado m en nm puntos fue supuesta verdadera por varios matemáticos. El primero en haberlo enunciado parece haber sido Isaac Newton en 1665 en The geometrical construction of equations.[1]
Diversos matemáticos intentaron probarlo en el siglo XVIII (entre ellos Colin Maclaurin, Gabriel Cramer, Leonhard Euler y Étienne Bézout), pero fracasaron, principalmente por el problema de no encontrar un método para contar "puntos en el infinito"[2] (recuérdese que el teorema es válido en el plano proyectivo, no en el plano euclídeo).
Un correcto enunciado del teorema de Bezout, con una prueba rigurosa, no se halla hasta pasado la mitad del siglo XIX. Aparentemente, el primero que encontró una buena manera de contar raíces con multiplicidades fue Halphen en 1873. [3]

Referencias

Stillwell, John (2010). Mathematics and his history (3 edición). Springer. 

  1. Stillwel, 2010, «Analytic geometry», p. 119.
  2. Stillwel, 2010, «Analytic geometry», pp. 119-120.
  3. Stillwel, 2010, «Projective geometry», p. 148.
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