Teorema del punto fijo de Kakutani

En análisis matemático el teorema del punto fijo de Kakutani, (llamado así en honor a Shizuo Kakutani quien lo demostró en 1941), es una generalización del teorema del punto fijo de Brouwer que describe condiciones para las cuales una función multivaluada definida en un subconjunto compacto y convexo del espacio Euclidiano tiene un punto fijo (es decir, un punto que es enviado bajo la función a un subconjunto que también lo contiene).

Su importancia radica en que ha sido aplicado en diversos problemas de la economía y teoría de juegos, particularmente para demostrar la existencia de equilibrios de Nash en estrategias mixtas.

Definiciones previas

Recordemos algunas definiciones que se usarán en el teorema.

Una función multivaluada φ del conjunto X al conjunto Y es una regla de correspondencia que asocia uno o más puntos de Y a un punto de X. Formalmente, si X y Y son dos conjuntos entonces cualquier función de la forma \varphi : X \rightarrow 2^Y es llamada función multivaluada.

Se dice que una función multivaluada \varphi : X \rightarrow 2^Y tiene una gráfica cerrada si el conjunto \{ x,y | y \in \varphi (x)  \} es un subconjunto cerrado de XxY bajo la topología producto.

Sea \varphi : X \rightarrow 2^Y una función multivaludada. Entonces aX es un punto fijo de φ si aφ(a).

Enunciado original

Sea S un subconjunto no vacío, compacto y convexo del espacio Euclidiano  \textstyle \mathbb{R}^n y \varphi : S \rightarrow 2^S una función multivaluada superiormente semicontinua, convexa y tal que φ(x) es no vacío para todo xS. Entonces φ tiene un punto fijo.


Shizuo Kakutani (1941)

Enunciado alternativo

Sea S un subconjunto no vacío, compacto y convexo del espacio euclidiano  \textstyle \mathbb{R}^n y \varphi : S \rightarrow 2^S una función multivaluada con una gráfica cerrada y tal que φ(x) es no vacío y convexo para todo xS. Entonces φ tiene un punto fijo.


Shizuo Kakutani (1941)

Kakutani estableció el teorema a partir de la definición de función superiormente semicontinua, sin embargo por el teorema de la gráfica cerrada es posible demostrar que una función superiormente semicontinua es a su vez una función con gráfica cerrada (y viceversa), de modo que ambos enunciados son equivalentes.

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Referencias

  1. Kakutani, Shizuo (1941). "A generalization of Brouwer’s fixed point theorem". Duke Mathematical Journal 8 (3): 457–459.
  2. Nash, J.F., Jr. (1950). "Equilibrium Points in N-Person Games". Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 36: 48–49.
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