Velocidad

Definición de los vectores velocidad media e instantánea.

La velocidad es una magnitud física de carácter vectorial que expresa la distancia recorrida de un objeto por unidad de tiempo. Se representa por \vec {v}\, o \mathbf {v}\,. En análisis dimensional sus dimensiones son [L]/[T].[1][2] Su unidad en el Sistema Internacional de Unidades es el metro por segundo (símbolo m/s).

En virtud de su carácter vectorial, para definir la velocidad deben considerarse la dirección del desplazamiento y el módulo, el cual se denomina celeridad o rapidez.[3]

De igual forma que la velocidad es el ritmo o tasa de cambio de la posición por unidad de tiempo, la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad por unidad de tiempo.

Historia

Aristóteles estudió los fenómenos físicos sin llegar a conceptualizar una noción de velocidad. En efecto, sus explicaciones (que posteriormente se demostrarían incorrectas) solo describían los fenómenos en palabras, sin usar las matemáticas como herramienta.

Fue Galileo Galilei quien, estudiando el movimiento de los cuerpos en un plano inclinado, llegó a un concepto de velocidad. Lo que hizo fue dividir la distancia recorrida en unidades de tiempo. Esto es, fijó un patrón de una unidad de tiempo, como por ejemplo 1 segundo, y a partir de esto relacionó la distancia recorrida por un cuerpo en cada segundo. De esta manera, Galileo desarrolló el concepto de la velocidad como una variación de la distancia recorrida por unidad de tiempo.

A pesar del gran avance de la introducción de esta nueva noción, sus alcances se restringían a los alcances mismos de las matemáticas. Por ejemplo, era relativamente sencillo calcular la velocidad de un móvil que se desplaza a velocidad constante, puesto que en cada segundo recorre distancias iguales. A su vez, también lo era calcular la velocidad de un móvil en aceleración constante, como en un cuerpo en caída libre. Sin embargo, cuando la velocidad del objeto variaba, no había herramienta, en épocas de Galileo, que ayudase a determinar la velocidad instantánea de un objeto.

Fue recién en el siglo XVI cuando, con el desarrollo del cálculo por parte de Isaac Newton y Gottfried Leibniz, se pudo solucionar la cuestión de obtener la velocidad instantánea de un objeto. Esta está determinada por la derivada de la posición del objeto respecto del tiempo. En el lenguaje cotidiano empleamos las palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En física hacemos una distinción entre ellas. De manera muy sencilla, la diferencia es que la velocidad es una rapidez en una dirección determinada. Cuando se dice que un auto viaja a 60 km/hora estamos indicando su rapidez. Pero si se dice que un auto se desplaza a 60 km/h hacia el norte estamos especificando su velocidad y la velocidad nos dice que tan aprisa lo hace y en que dirección.

Las aplicaciones de la velocidad, con el uso de Cálculo, es una herramienta fundamental en Física e Ingeniería, extendiéndose en prácticamente todo estudio donde haya una variación de la posición respecto del tiempo.

Velocidad en mecánica clásica

Velocidad media

La 'velocidad media' o velocidad promedio es el cociente del espacio recorrido entre el tiempo que tarda en hacerlo. Se calcula dividiendo el desplazamientor) entre el tiempo (Δt) empleado en efectuarlo:

(1)\mathbf{\bar{v}} = \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t}

Esta es la definición de la velocidad media entendida como vector (ya que es el resultado de dividir un vector entre un escalar).

Por otra parte, si se considera la distancia recorrida sobre la trayectoria en un intervalo de tiempo dado, tenemos la velocidad media sobre la trayectoria o rapidez media, la cual es una cantidad escalar. La expresión anterior se escribe en la forma:

(2)v = \frac{\Delta s}{\Delta t}

La velocidad media sobre la trayectoria también se suele denominar «velocidad media numérica» aunque esta última forma de llamarla no está exenta de ambigüedades.

El módulo de la velocidad media (entendida como vector), en general, es diferente al valor de la velocidad media sobre la trayectoria. Solo serán iguales si la trayectoria es rectilínea y si el móvil solo avanza (en uno u otro sentido) sin retroceder. Por ejemplo, si un objeto recorre una distancia de 10 metros en un lapso de 3 segundos, el módulo de su velocidad media sobre la trayectoria es:

v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{10}{3} = 3,\hat{3} \,\, \text{m/s}

Velocidad instantánea

La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria, corresponde a la derivada del vector posición (R) respecto al tiempo.

Permite conocer la velocidad de un móvil que se desplaza sobre una trayectoria cuando el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, siendo entonces el espacio recorrido también muy pequeño, representando un punto de la trayectoria. La velocidad instantánea es siempre tangente a la trayectoria.

\mathbf v= \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta \mathbf r}{\Delta t} = \frac {d{\mathbf r}}{dt}

En forma vectorial, la velocidad es la derivada del vector posición respecto al tiempo:

\mathbf v= \frac {ds}{dt} \ \mathbf u_t = \frac {d{\mathbf r}}{dt}

donde \mathbf u_t es un vector (vector de módulo unidad) de dirección tangente a la trayectoria del cuerpo en cuestión y \mathbf r es el vector posición, ya que en el límite los diferenciales de espacio recorrido y posición coinciden.

Celeridad o rapidez

La celeridad o rapidez es una magnitud escalar, a diferencia de la velocidad que es una magnitud vectorial, ya sea velocidad vectorial media, velocidad media sobre la trayectoria, o velocidad instantánea (velocidad en un punto). La celeridad se define como el módulo o norma de la velocidad:

\text{rapidez} = v = |\mathbf{v}| = \|\mathbf{v}\|

El módulo del vector velocidad instantánea y el valor numérico de la velocidad instantánea sobre la trayectoria son iguales, mientras que la rapidez promedio no necesariamente es igual a la magnitud de la velocidad promedio.

Velocidad relativa

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa. La velocidad relativa entre dos observadores A y B es el valor de la velocidad de un observador medida por el otro. Las velocidades relativas medias por A y B serán iguales en valor absoluto pero de signo contrario. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como \mathbf v_\text{BA}\;.

Dadas dos partículas A y B, cuyas velocidades medidas por un cierto observador son \mathbf{v}_\text{A} \, y \mathbf{v}_\text{B}\,, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como \mathbf{v}_\text{BA}\; y viene dada por:

\mathbf{v}_\text{BA} = \mathbf{v}_\text{B} - \mathbf{v}_\text{A}

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como \mathbf{v}_\text{AB}\; y viene dada por:

\mathbf{v}_\text{AB} = \mathbf{v}_\text{A} - \mathbf{v}_\text{B}

de modo que las velocidades relativas \mathbf{v}_\text{BA}\; y \mathbf{v}_\text{AB}\; tienen el mismo módulo pero dirección contraria.

Velocidad angular

La velocidad angular no es propiamente una velocidad en el sentido anteriormente definido sino que es una medida de la rapidez con la que ocurre un movimiento de rotación. Aunque no es propiamente una velocidad una vez conocida la velocidad de un punto de un sólido y la velocidad angular del sólido se puede determinar la velocidad instantánea del resto de puntos del sólido.

Velocidad en mecánica relativista

En mecánica relativista puede definirse la velocidad de manera análoga a como se hace en mecánica clásica sin embargo la velocidad así definida no tiene las mismas propiedades que su análogo clásico:

U^i = \frac{v_i}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\quad i\in\{1,2,3\}, \qquad \qquad
U^0 = \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Además esta cuadrivelocidad tiene propiedades de transformación adecuadamente covariantes y es proporcional al cuadrimomento lineal.

En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva. Eso significa que si consideramos dos observadores, A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes v_\text{AO}, v_\text{BO} \,, respecto de un tercer observador O, sucede que:

v_\text{BO} \ne v_\text{BA} + v_\text{AO}
\qquad v_\text{AO} \ne v_\text{AB} + v_\text{BO}

Siendo la velocidad v_\text{BA} de B medida por A y v_\text{AB} la velocidad de A medida por B. Esto sucede porque tanto la medida de velocidades, como el transcurso del tiempo para los observadores A y B no es el mismo debido a que tienen diferentes velocidades, y como es sabido el paso del tiempo depende de la velocidad de un sistema en relación a la velocidad de la luz. Cuando se tiene en cuenta esto, resulta que el cálculo de velocidades relativas no es aditiva. A diferencia de lo que sucede en la mecánica clásica, donde el paso del tiempo es idéntico para todos los observadores con independencia de su estado de movimiento. Otra forma de verlo es la siguiente: si las velocidades relativas fuera simplemente aditiva en relatividad llegaríamos a contradicciones. Para verlo, consideremos un objeto pequeño que se mueve respecto a otro mayor a una velocidad superior a la mitad de la luz. Y consideremos que ese otro objeto mayor se moviera a más de la velocidad de la luz respecto a un observador fijo. La aditividad implicaría que el objeto pequeño se movería a una velocidad superior a la de la luz respecto al observador fijo, pero eso no es posible porque todos los objetos materiales convencionales tienen velocidades inferiores a la de luz. Sin embargo, aunque las velocidades no son aditivas en relatividad, para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, es decir:

v_\text{B} \approx v_\text{BA} + v_\text{A} \qquad v_\text{A} \approx v_\text{AB} + v_\text{B}

Siendo inadecuada esta aproximación para valores de las velocidades no despreciables frente a la velocidad de la luz.

Velocidad en mecánica cuántica

En mecánica cuántica no relativista el estado de una partícula se describe mediante una función de onda \psi(x)\, que satisface la ecuación de Schrödinger. La velocidad de propagación media de la partícula viene dado por la expresión:

\mathbf{v} = \frac{i\hbar}{2m}\left(\frac{\boldsymbol{\nabla}\psi^*}{\psi^*} -
\frac{\boldsymbol{\nabla}\psi}{\psi} \right)

Obviamente la velocidad solo será diferente de cero cuando la función de onda es compleja, siendo idénticamente nula la velocidad de los estados ligados estacionarios, cuya función de onda es real. Esto último se debe a que los estados estacionarios representan estados que no varían con el tiempo y por tanto no se propagan.

En mecánica cuántica relativista se postula que por ejemplo un electrón podría tener junto con una velocidad media macroscópica (medida entre dos instantes diferentes) un movimiento de agitación u oscilación muy rápida adicional conocido como Zitterbewegung, de acuerdo con esa interpretación adicional no existe una relación entre el momento de la partícula y la velocidad asignable a dicho movimiento.

Unidades de velocidad

Sistema Internacional de Unidades (SI)
Sistema Métrico antiguo
Sistema Cegesimal de Unidades
Sistema Cexagesimal de Unidades
Sistema Anglosajón de Unidades
Navegación marítima y Navegación aérea
Aeronáutica
Unidades de Planck (Unidades naturales)

Véase también

Notas

  1. Utilizada, por ejemplo, en las señales de tráfico.

Referencias

  1. Resnick, 1996, pp. 10 y 11.
  2. Resnick, 1996, pp. 17-23.
  3. Wikilibros (16 de febrero de 2015). «Física/Cinemática/Velocidad - Wikilibros». Consultado el 25 de julio de 2015.

Bibliografía

Enlaces externos

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